Cálculo Exemplos

$f (x) = - x^{4} + 2 x^{2} - x - 2$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{4} + 2 x^{2} - x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$- 4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 + 0$

Etapa 1.5.2

Some $- 4 x^{3} + 4 x - 1$ e $0$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - 1$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 x^{3} + 4 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $- 12 x^{2} + 4$ e $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{4} + 2 x^{2} - x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$- 4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 4.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 4.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 4.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.5.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 + 0$

Etapa 4.1.5.2

Some $- 4 x^{3} + 4 x - 1$ e $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 4 x - 1$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 4 x^{3} + 4 x - 1$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - 1$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 4 x^{3} + 4 x - 1 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 = 0$

Etapa 5.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx - 1.10715987, 0.26959443, 0.83756543$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 1.10715987, 0.26959443, 0.83756543$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - 1.10715987$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 12 {(- 1.10715987)}^{2} + 4$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Eleve $- 1.10715987$ à potência de $2$ .

$- 12 \cdot 1.22580298 + 4$

Etapa 9.1.2

Multiplique $- 12$ por $1.22580298$ .

$- 14.70963577 + 4$

Etapa 9.2

Some $- 14.70963577$ e $4$ .

$- 10.70963577$

Etapa 10

$x = - 1.10715987$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1.10715987$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = - 1.10715987$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.10715987$ na expressão.

$f (- 1.10715987) = - {(- 1.10715987)}^{4} + 2 {(- 1.10715987)}^{2} - (- 1.10715987) - 2$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Eleve $- 1.10715987$ à potência de $4$ .

$f (- 1.10715987) = - 1 \cdot 1.50259294 + 2 {(- 1.10715987)}^{2} - (- 1.10715987) - 2$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1.50259294$ .

$f (- 1.10715987) = - 1.50259294 + 2 {(- 1.10715987)}^{2} - (- 1.10715987) - 2$

Etapa 11.2.1.3

Eleve $- 1.10715987$ à potência de $2$ .

$f (- 1.10715987) = - 1.50259294 + 2 \cdot 1.22580298 - (- 1.10715987) - 2$

Etapa 11.2.1.4

Multiplique $2$ por $1.22580298$ .

$f (- 1.10715987) = - 1.50259294 + 2.45160596 - (- 1.10715987) - 2$

Etapa 11.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1.10715987$ .

$f (- 1.10715987) = - 1.50259294 + 2.45160596 + 1.10715987 - 2$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 11.2.2.1

Some $- 1.50259294$ e $2.45160596$ .

$f (- 1.10715987) = 0.94901301 + 1.10715987 - 2$

Etapa 11.2.2.2

Some $0.94901301$ e $1.10715987$ .

$f (- 1.10715987) = 2.05617288 - 2$

Etapa 11.2.2.3

Subtraia $2$ de $2.05617288$ .

$f (- 1.10715987) = 0.05617288$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $0.05617288$ .

$y = 0.05617288$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 0.26959443$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 12 {(0.26959443)}^{2} + 4$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Eleve $0.26959443$ à potência de $2$ .

$- 12 \cdot 0.07268115 + 4$

Etapa 13.1.2

Multiplique $- 12$ por $0.07268115$ .

$- 0.87217391 + 4$

Etapa 13.2

Some $- 0.87217391$ e $4$ .

$3.12782608$

Etapa 14

$x = 0.26959443$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0.26959443$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = 0.26959443$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $0.26959443$ na expressão.

$f (0.26959443) = - {(0.26959443)}^{4} + 2 {(0.26959443)}^{2} - (0.26959443) - 2$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Eleve $0.26959443$ à potência de $4$ .

$f (0.26959443) = - 1 \cdot 0.00528255 + 2 {(0.26959443)}^{2} - (0.26959443) - 2$

Etapa 15.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $0.00528255$ .

$f (0.26959443) = - 0.00528255 + 2 {(0.26959443)}^{2} - (0.26959443) - 2$

Etapa 15.2.1.3

Eleve $0.26959443$ à potência de $2$ .

$f (0.26959443) = - 0.00528255 + 2 \cdot 0.07268115 - (0.26959443) - 2$

Etapa 15.2.1.4

Multiplique $2$ por $0.07268115$ .

$f (0.26959443) = - 0.00528255 + 0.14536231 - (0.26959443) - 2$

Etapa 15.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $0.26959443$ .

$f (0.26959443) = - 0.00528255 + 0.14536231 - 0.26959443 - 2$

Etapa 15.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 15.2.2.1

Some $- 0.00528255$ e $0.14536231$ .

$f (0.26959443) = 0.14007976 - 0.26959443 - 2$

Etapa 15.2.2.2

Subtraia $0.26959443$ de $0.14007976$ .

$f (0.26959443) = - 0.12951466 - 2$

Etapa 15.2.2.3

Subtraia $2$ de $- 0.12951466$ .

$f (0.26959443) = - 2.12951466$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $- 2.12951466$ .

$y = - 2.12951466$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = 0.83756543$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 12 {(0.83756543)}^{2} + 4$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Eleve $0.83756543$ à potência de $2$ .

$- 12 \cdot 0.70151585 + 4$

Etapa 17.1.2

Multiplique $- 12$ por $0.70151585$ .

$- 8.4181903 + 4$

Etapa 17.2

Some $- 8.4181903$ e $4$ .

$- 4.4181903$

Etapa 18

$x = 0.83756543$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0.83756543$ é um máximo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = 0.83756543$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $0.83756543$ na expressão.

$f (0.83756543) = - {(0.83756543)}^{4} + 2 {(0.83756543)}^{2} - (0.83756543) - 2$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.1

Eleve $0.83756543$ à potência de $4$ .

$f (0.83756543) = - 1 \cdot 0.49212449 + 2 {(0.83756543)}^{2} - (0.83756543) - 2$

Etapa 19.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $0.49212449$ .

$f (0.83756543) = - 0.49212449 + 2 {(0.83756543)}^{2} - (0.83756543) - 2$

Etapa 19.2.1.3

Eleve $0.83756543$ à potência de $2$ .

$f (0.83756543) = - 0.49212449 + 2 \cdot 0.70151585 - (0.83756543) - 2$

Etapa 19.2.1.4

Multiplique $2$ por $0.70151585$ .

$f (0.83756543) = - 0.49212449 + 1.40303171 - (0.83756543) - 2$

Etapa 19.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $0.83756543$ .

$f (0.83756543) = - 0.49212449 + 1.40303171 - 0.83756543 - 2$

Etapa 19.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.2.1

Some $- 0.49212449$ e $1.40303171$ .

$f (0.83756543) = 0.91090721 - 0.83756543 - 2$

Etapa 19.2.2.2

Subtraia $0.83756543$ de $0.91090721$ .

$f (0.83756543) = 0.07334178 - 2$

Etapa 19.2.2.3

Subtraia $2$ de $0.07334178$ .

$f (0.83756543) = - 1.92665821$

Etapa 19.2.3

A resposta final é $- 1.92665821$ .

$y = - 1.92665821$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = - x^{4} + 2 x^{2} - x - 2$ .

$(- 1.10715987, 0.05617288)$ é um máximo local

$(0.26959443, - 2.12951466)$ é um mínimo local

$(0.83756543, - 1.92665821)$ é um máximo local

Etapa 21