Cálculo Exemplos

$\ln (1 + x^{2} + 2 y^{2})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \ln (y)$ e $g (y) = 1 + x^{2} + 2 y^{2}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + x^{2} + 2 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + 2 y^{2}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + 2 y^{2}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x^{2} + 2 y^{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + 2 y^{2}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2} + 2 y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

Etapa 2.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (0 + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

Etapa 2.4

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (0 + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

Etapa 2.5

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$

Etapa 2.6

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y^{2}$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (2 \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Etapa 2.7

Combine $2$ e $\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$ .

$\frac{2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (2 y)$

Etapa 2.9

Combine frações.

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Etapa 2.9.1

Combine $2$ e $\frac{2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} y$

Etapa 2.9.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} y$

Etapa 2.9.3

Combine $\frac{4}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$ e $y$ .

$\frac{4 y}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$

Etapa 2.9.4

Reordene os termos.

$\frac{4 y}{x^{2} + 2 y^{2} + 1}$