Cálculo Exemplos

$\int 5 x^{2} \sec^{2} (2 x^{3} - 6) d x$

Etapa 1

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int x^{2} \sec^{2} (2 x^{3} - 6) d x$

Etapa 2

Deixe $u = 2 x^{3} - 6$ . Depois, $d u = 6 x^{2} d x$ , então, $\frac{1}{6} d u = x^{2} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 2 x^{3} - 6$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $2 x^{3} - 6$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 6]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.4.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x^{2} + 0$

Etapa 2.1.4.2

Some $6 x^{2}$ e $0$ .

$6 x^{2}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$5 \int \sec^{2} (u) \frac{1}{6} d u$

Etapa 3

Combine $\sec^{2} (u)$ e $\frac{1}{6}$ .

$5 \int \frac{\sec^{2} (u)}{6} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$5 (\frac{1}{6} \int \sec^{2} (u) d u)$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{6}$ e $5$ .

$\frac{5}{6} \int \sec^{2} (u) d u$

Etapa 6

Como a derivada de $\tan (u)$ é $\sec^{2} (u)$ , a integral de $\sec^{2} (u)$ é $\tan (u)$ .

$\frac{5}{6} (\tan (u) + C)$

Etapa 7

Simplifique.

$\frac{5}{6} \tan (u) + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x^{3} - 6$ .

$\frac{5}{6} \tan (2 x^{3} - 6) + C$