Cálculo Exemplos

$\int \sin^{4} (e^{2 x}) \cos (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{3} = \sin (e^{2 x})$ . Depois, $d u_{3} = 2 e^{2 x} \cos (e^{2 x}) d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{3} = e^{2 x} \cos (e^{2 x}) d x$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{3} = \sin (e^{2 x})$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\sin (e^{2 x})$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (e^{2 x})]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = e^{2 x}$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $e^{2 x}$ .

$\cos (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$\cos (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.1.4

Diferencie.

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Etapa 1.1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Etapa 1.1.4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.4.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 2)$

Etapa 1.1.4.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$\cos (e^{2 x}) (2 \cdot e^{2 x})$

Etapa 1.1.4.3.3

Reordene os fatores de $\cos (e^{2 x}) (2 e^{2 x})$ .

$2 e^{2 x} \cos (e^{2 x})$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\int {u_{3}}^{4} \frac{1}{2} d u_{3}$

Etapa 2

Combine ${u_{3}}^{4}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{4}}{2} d u_{3}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{4} d u_{3}$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{3}}^{4}$ com relação a $u_{3}$ é $\frac{1}{5} {u_{3}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva $\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 5} {u_{3}}^{5} + C$

Etapa 5.2.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{1}{10} {u_{3}}^{5} + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $\sin (e^{2 x})$ .

$\frac{1}{10} \sin^{5} (e^{2 x}) + C$