Cálculo Exemplos

$- 2 x e^{1 - x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x e^{1 - x^{2}}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{1 - x^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x e^{1 - x^{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{1 - x^{2}}$ .

$- 2 (x \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}] + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - x^{2}$ .

$- 2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x^{2}$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (- (2 x))) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 2 (x^{1} x (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 (x^{1 + 1} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Some $1$ e $1$ .

$- 2 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.8.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{1 - x^{2}}$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} \cdot 1)$

Etapa 1.10

Multiplique $e^{1 - x^{2}}$ por $1$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}})$

Etapa 1.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{1 - x^{2}})) - 2 e^{1 - x^{2}}$

Etapa 1.11.2

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$

Etapa 1.11.3

Reordene os termos.

$4 e^{1 - x^{2}} x^{2} - 2 e^{1 - x^{2}}$

Etapa 1.11.4

Reordene os fatores em $4 e^{1 - x^{2}} x^{2} - 2 e^{1 - x^{2}}$ .

$4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{1 - x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{1 - x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{2} e^{1 - x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{1 - x^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2} e^{1 - x^{2}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{1 - x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{1 - x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{1 - x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $1 - x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 - x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Etapa 2.2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Etapa 2.2.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Etapa 2.2.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (0 - \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Etapa 2.2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (0 - (2 x))) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Etapa 2.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (0 - (2 x))) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Etapa 2.2.9

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (0 - 2 x)) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Etapa 2.2.10

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Etapa 2.2.11

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.11.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = 4 (x \cdot x^{2} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Etapa 2.2.11.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.11.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 4 (x \cdot x^{2} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Etapa 2.2.11.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 4 (x^{1 + 2} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Etapa 2.2.11.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Etapa 2.2.12

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{1 - x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 e^{1 - x^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 e^{1 - x^{2}}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 \frac{d}{d x} e^{1 - x^{2}}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $1 - x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2}))$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2}))$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 - x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2}))$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))$

Etapa 2.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))$

Etapa 2.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} (0 - \frac{d}{d x} x^{2}))$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} (0 - (2 x)))$

Etapa 2.3.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} (0 - 2 x))$

Etapa 2.3.8

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} (- 2 x))$

Etapa 2.3.9

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + 4 e^{1 - x^{2}} x$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}})) + 4 (e^{1 - x^{2}} (2 x)) + 4 e^{1 - x^{2}} x$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$f'' (x) = - 8 (x^{3} (e^{1 - x^{2}})) + 4 (e^{1 - x^{2}} (2 x)) + 4 e^{1 - x^{2}} x$

Etapa 2.4.2.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$f'' (x) = - 8 x^{3} e^{1 - x^{2}} + 8 (e^{1 - x^{2}} (x)) + 4 e^{1 - x^{2}} x$

Etapa 2.4.2.3

Some $8 e^{1 - x^{2}} x$ e $4 e^{1 - x^{2}} x$ .

$f'' (x) = - 8 x^{3} e^{1 - x^{2}} + 12 e^{1 - x^{2}} x$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = - 8 e^{1 - x^{2}} x^{3} + 12 e^{1 - x^{2}} x$

Etapa 2.4.4

Reordene os fatores em $- 8 e^{1 - x^{2}} x^{3} + 12 e^{1 - x^{2}} x$ .

$f'' (x) = - 8 x^{3} e^{1 - x^{2}} + 12 x e^{1 - x^{2}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x e^{1 - x^{2}}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{1 - x^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x e^{1 - x^{2}}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{1 - x^{2}}$ .

$- 2 (x \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}] + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - x^{2}$ .

$- 2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x^{2}$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.4.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (- (2 x))) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.4.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 2 (x^{1} x (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 (x^{1 + 1} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.8.1

Some $1$ e $1$ .

$- 2 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.8.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{1 - x^{2}}$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} \cdot 1)$

Etapa 4.1.10

Multiplique $e^{1 - x^{2}}$ por $1$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}})$

Etapa 4.1.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{1 - x^{2}})) - 2 e^{1 - x^{2}}$

Etapa 4.1.11.2

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$

Etapa 4.1.11.3

Reordene os termos.

$4 e^{1 - x^{2}} x^{2} - 2 e^{1 - x^{2}}$

Etapa 4.1.11.4

Reordene os fatores em $4 e^{1 - x^{2}} x^{2} - 2 e^{1 - x^{2}}$ .

$f' (x) = 4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$ .

$4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}} = 0$

Etapa 5.2

Fatore $2 e^{1 - x^{2}}$ de $4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $2 e^{1 - x^{2}}$ de $4 x^{2} e^{1 - x^{2}}$ .

$2 e^{1 - x^{2}} (2 x^{2}) - 2 e^{1 - x^{2}} = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $2 e^{1 - x^{2}}$ de $- 2 e^{1 - x^{2}}$ .

$2 e^{1 - x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{1 - x^{2}} (- 1) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $2 e^{1 - x^{2}}$ de $2 e^{1 - x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{1 - x^{2}} (- 1)$ .

$2 e^{1 - x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{1 - x^{2}} = 0$

$2 x^{2} - 1 = 0$

Etapa 5.4

Defina $e^{1 - x^{2}}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $e^{1 - x^{2}}$ como igual a $0$ .

$e^{1 - x^{2}} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $e^{1 - x^{2}} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{1 - x^{2}}) = \ln (0)$

Etapa 5.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 5.4.2.3

Não há uma solução para $e^{1 - x^{2}} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 5.5

Defina $2 x^{2} - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $2 x^{2} - 1$ como igual a $0$ .

$2 x^{2} - 1 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $2 x^{2} - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x^{2} = 1$

Etapa 5.5.2.2

Divida cada termo em $2 x^{2} = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.1

Divida cada termo em $2 x^{2} = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.5.2.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.5.2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.5.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 5.5.2.4.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 5.5.2.4.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 5.5.2.4.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.4.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 5.5.2.4.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 5.5.2.4.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 5.5.2.4.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.5.2.4.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 5.5.2.4.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.4.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.5.2.4.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.5.2.4.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.5.2.4.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.4.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.5.2.4.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 5.5.2.4.4.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.5.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.5.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.5.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $2 e^{1 - x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 8 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 8 \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$- 8 \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.2.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- 8 \frac{\sqrt{8}}{2^{3}} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.2.3

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.3.1

Fatore $4$ de $8$ .

$- 8 \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.2.3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- 8 \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.2.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$- 8 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- 8 \frac{2 \sqrt{2}}{8} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.4

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.1

Fatore $8$ de $- 8$ .

$8 (- 1) \frac{2 \sqrt{2}}{8} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.4.2

Cancele o fator comum.

$8 \cdot - 1 \frac{2 \sqrt{2}}{8} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.4.3

Reescreva a expressão.

$- 1 (2 \sqrt{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.6.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.6.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.6.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.6.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.6.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.6.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.6.2.4.1

Cancele o fator comum.

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.6.2.4.2

Reescreva a expressão.

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.6.2.5

Avalie o expoente.

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.6.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{4}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.6.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.6.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 (1)}{4}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.6.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.6.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.6.4.2.2

Cancele o fator comum.

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.6.4.2.3

Reescreva a expressão.

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{1}{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.7

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{2 - 1}{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.9

Subtraia $1$ de $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.10

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.10.1

Fatore $2$ de $12$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 2 (6) \frac{\sqrt{2}}{2} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.10.2

Cancele o fator comum.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.10.3

Reescreva a expressão.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.11

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.11.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 9.1.11.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.11.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 9.1.11.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Etapa 9.1.11.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 9.1.11.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.11.2.4.1

Cancele o fator comum.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 9.1.11.2.4.2

Reescreva a expressão.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Etapa 9.1.11.2.5

Avalie o expoente.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

Etapa 9.1.11.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{4}}$

Etapa 9.1.11.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.11.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 (1)}{4}}$

Etapa 9.1.11.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.11.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 9.1.11.4.2.2

Cancele o fator comum.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 9.1.11.4.2.3

Reescreva a expressão.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{1}{2}}$

Etapa 9.1.12

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Etapa 9.1.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{\frac{2 - 1}{2}}$

Etapa 9.1.14

Subtraia $1$ de $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Etapa 9.2

Some $- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$ e $6 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Etapa 10

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ na expressão.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 (- 1) (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 11.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 11.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - 1 \sqrt{2} \cdot e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 11.2.1.2

Reescreva $- 1 \sqrt{2}$ como $- \sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 11.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 11.2.2.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 11.2.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Etapa 11.2.2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 11.2.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 11.2.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Etapa 11.2.2.2.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

Etapa 11.2.2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2}{4}}$

Etapa 11.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2 (1)}{4}}$

Etapa 11.2.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 11.2.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 11.2.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{1}{2}}$

Etapa 11.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Etapa 11.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{\frac{2 - 1}{2}}$

Etapa 11.2.3.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Etapa 11.2.4

A resposta final é $- \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 8 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 8 ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 8 (- \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$- 8 (- \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- 8 (- \frac{\sqrt{8}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.3.3

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.3.1

Fatore $4$ de $8$ .

$- 8 (- \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.3.3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- 8 (- \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.3.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$- 8 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- 8 (- \frac{2 \sqrt{2}}{8}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.5

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2 \sqrt{2}}{8}$ para o numerador.

$- 8 \frac{- 2 \sqrt{2}}{8} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.5.2

Fatore $8$ de $- 8$ .

$8 (- 1) \frac{- 2 \sqrt{2}}{8} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.5.3

Cancele o fator comum.

$8 \cdot - 1 \frac{- 2 \sqrt{2}}{8} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.5.4

Reescreva a expressão.

$- 1 (- 2 \sqrt{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.6

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.7.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.7.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.7.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.7.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.7.2.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.7.2.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.7.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.7.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.7.2.3

Some $2$ e $1$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.7.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.7.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.7.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.7.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.7.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.7.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.7.4.4.1

Cancele o fator comum.

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.7.4.4.2

Reescreva a expressão.

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.7.4.5

Avalie o expoente.

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.7.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{4}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.7.6

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.7.6.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 (1)}{4}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.7.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.7.6.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.7.6.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.7.6.2.3

Reescreva a expressão.

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{1}{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.8

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{2 - 1}{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.10

Subtraia $1$ de $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.11

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.11.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ para o numerador.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 12 \frac{- \sqrt{2}}{2} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.11.2

Fatore $2$ de $12$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 2 (6) \frac{- \sqrt{2}}{2} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.11.3

Cancele o fator comum.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 6 \frac{- \sqrt{2}}{2} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.11.4

Reescreva a expressão.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 (- \sqrt{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.12

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.13

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.13.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.13.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})}$

Etapa 13.1.13.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Etapa 13.1.13.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.13.2.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 13.1.13.2.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.13.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 13.1.13.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 13.1.13.2.3

Some $2$ e $1$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 13.1.13.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 13.1.13.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.13.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 13.1.13.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Etapa 13.1.13.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 13.1.13.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.13.4.4.1

Cancele o fator comum.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 13.1.13.4.4.2

Reescreva a expressão.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Etapa 13.1.13.4.5

Avalie o expoente.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

Etapa 13.1.13.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{4}}$

Etapa 13.1.13.6

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.13.6.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 (1)}{4}}$

Etapa 13.1.13.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.13.6.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 13.1.13.6.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 13.1.13.6.2.3

Reescreva a expressão.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{1}{2}}$

Etapa 13.1.14

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Etapa 13.1.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{\frac{2 - 1}{2}}$

Etapa 13.1.16

Subtraia $1$ de $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Etapa 13.2

Subtraia $6 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$ de $2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Etapa 14

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ para o numerador.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \frac{- \sqrt{2}}{2} \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 15.2.1.1.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 (- 1) (\frac{- \sqrt{2}}{2}) \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 15.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- \sqrt{2}}{2}) \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 15.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 1 (- \sqrt{2}) \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 15.2.1.2

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 1 \sqrt{2} \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 15.2.1.2.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 15.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})}$

Etapa 15.2.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Etapa 15.2.2.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.2.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Etapa 15.2.2.2.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 + {(- 1)}^{2} \cdot ({(- 1)}^{1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Etapa 15.2.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Etapa 15.2.2.2.3

Some $2$ e $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 + {(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Etapa 15.2.2.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 15.2.2.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 15.2.2.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Etapa 15.2.2.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 15.2.2.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 15.2.2.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Etapa 15.2.2.4.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

Etapa 15.2.2.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2}{4}}$

Etapa 15.2.2.6

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.6.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2 (1)}{4}}$

Etapa 15.2.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.6.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 15.2.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 15.2.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{1}{2}}$

Etapa 15.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Etapa 15.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{\frac{2 - 1}{2}}$

Etapa 15.2.3.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Etapa 15.2.4

A resposta final é $\sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = - 2 x e^{1 - x^{2}}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}})$ é um mínimo local

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}})$ é um máximo local

Etapa 17