Cálculo Exemplos

$\frac{1}{x (x + 1)}$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{x (x + 1)}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{x (x + 1)}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{x (x + 1)} d x$

Etapa 4

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 4.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 4.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Etapa 4.1.2

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (x + 1)$ .

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 4.1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 4.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 4.1.4

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 4.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 4.1.4.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 4.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.5.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 4.1.5.1.2

Divida $A (x + 1)$ por $1$ .

$1 = A (x + 1) + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 4.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 4.1.5.3

Multiplique $A$ por $1$ .

$1 = A x + A + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 4.1.5.4

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 4.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 4.1.5.4.2

Divida $(B) (x)$ por $1$ .

$1 = A x + A + (B) (x)$

$1 = A x + A + B x$

Etapa 4.1.6

Mova $A$ .

$1 = A x + B x + A$

Etapa 4.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 4.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 4.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A$

Etapa 4.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

Etapa 4.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 4.3.1

Reescreva a equação como $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + B$

Etapa 4.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1$ em cada equação.

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Etapa 4.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + B$ por $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

Etapa 4.3.3

Resolva $B$ em $0 = 1 + B$ .

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Etapa 4.3.3.1

Reescreva a equação como $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

Etapa 4.3.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Etapa 4.3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = - 1 A = 1$

Etapa 4.3.5

Liste todas as soluções.

$B = - 1, A = 1$

Etapa 4.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- 1}{x + 1}$

Etapa 4.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 8

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 8.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 8.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 8.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| x |) + C - (\ln (| u |) + C)$

Etapa 10

Simplifique.

$\ln (| x |) - \ln (| u |) + C$

Etapa 11

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| x |}{| u |}) + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$\ln (\frac{| x |}{| x + 1 |}) + C$

Etapa 13

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{x (x + 1)}$ .

$F (x) =$ $\ln (\frac{| x |}{| x + 1 |}) + C$