Cálculo Exemplos

$x y^{2} + \frac{x^{2}}{y} = 5$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} + \frac{x^{2}}{y}) = \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y^{2} + \frac{x^{2}}{y}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Etapa 2.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Etapa 2.2.6

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{y \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{y (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{y (2 x) - x^{2} y'}{y^{2}}$

Etapa 2.3.4

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Combine os termos.

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Etapa 2.4.1.1

Para escrever $2 x y y'$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$y^{2} + \frac{2 x y y' y^{2}}{y^{2}} + \frac{2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y^{2} + \frac{2 x y y' y^{2} + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4.1.3

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.1.3.1

Mova $y^{2}$ .

$y^{2} + \frac{2 x (y^{2} y) y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4.1.3.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 2.4.1.3.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y^{2} + \frac{2 x (y^{2} y^{1}) y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y^{2} + \frac{2 x y^{2 + 1} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4.1.3.3

Some $2$ e $1$ .

$y^{2} + \frac{2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4.1.4

Para escrever $y^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2} y^{2}}{y^{2}} + \frac{2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{y^{2} y^{2} + 2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4.1.6

Multiplique $y^{2}$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.1.6.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{y^{2 + 2} + 2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4.1.6.2

Some $2$ e $2$ .

$\frac{y^{4} + 2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4.2

Reordene os termos.

$\frac{y^{4} + 2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y'}{y^{2}}$

Etapa 3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{y^{4} + 2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y'}{y^{2}} = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Defina o numerador como igual a zero.

$y^{4} + 2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y' = 0$

Etapa 5.2

Resolva a equação para $y'$ .

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Etapa 5.2.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1.1

Subtraia $y^{4}$ dos dois lados da equação.

$2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y' = - y^{4}$

Etapa 5.2.1.2

Subtraia $2 x y$ dos dois lados da equação.

$2 y^{3} x y' - x^{2} y' = - y^{4} - 2 x y$

Etapa 5.2.2

Fatore $x y'$ de $2 y^{3} x y' - x^{2} y'$ .

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Etapa 5.2.2.1

Fatore $x y'$ de $2 y^{3} x y'$ .

$x y' (2 y^{3}) - x^{2} y' = - y^{4} - 2 x y$

Etapa 5.2.2.2

Fatore $x y'$ de $- x^{2} y'$ .

$x y' (2 y^{3}) + x y' (- x) = - y^{4} - 2 x y$

Etapa 5.2.2.3

Fatore $x y'$ de $x y' (2 y^{3}) + x y' (- x)$ .

$x y' (2 y^{3} - x) = - y^{4} - 2 x y$

Etapa 5.2.3

Divida cada termo em $x y' (2 y^{3} - x) = - y^{4} - 2 x y$ por $x (2 y^{3} - x)$ e simplifique.

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Etapa 5.2.3.1

Divida cada termo em $x y' (2 y^{3} - x) = - y^{4} - 2 x y$ por $x (2 y^{3} - x)$ .

$\frac{x y' (2 y^{3} - x)}{x (2 y^{3} - x)} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Etapa 5.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y' (2 y^{3} - x)}{x (2 y^{3} - x)} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Etapa 5.2.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (2 y^{3} - x)}{2 y^{3} - x} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Etapa 5.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $2 y^{3} - x$ .

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Etapa 5.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (2 y^{3} - x)}{2 y^{3} - x} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Etapa 5.2.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Etapa 5.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Etapa 5.2.3.3.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.2.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Etapa 5.2.3.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 y}{2 y^{3} - x}$

Etapa 5.2.3.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y}{2 y^{3} - x}$

Etapa 5.2.3.3.2

Para escrever $- \frac{2 y}{2 y^{3} - x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y}{2 y^{3} - x} \cdot \frac{x}{x}$

Etapa 5.2.3.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x (2 y^{3} - x)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.2.3.3.3.1

Multiplique $\frac{2 y}{2 y^{3} - x}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y x}{(2 y^{3} - x) x}$

Etapa 5.2.3.3.3.2

Reordene os fatores de $(2 y^{3} - x) x$ .

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y x}{x (2 y^{3} - x)}$

Etapa 5.2.3.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- y^{4} - 2 y x}{x (2 y^{3} - x)}$

Etapa 5.2.3.3.5

Fatore $y$ de $- y^{4} - 2 y x$ .

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Etapa 5.2.3.3.5.1

Fatore $y$ de $- y^{4}$ .

$y' = \frac{y (- y^{3}) - 2 y x}{x (2 y^{3} - x)}$

Etapa 5.2.3.3.5.2

Fatore $y$ de $- 2 y x$ .

$y' = \frac{y (- y^{3}) + y (- 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

Etapa 5.2.3.3.5.3

Fatore $y$ de $y (- y^{3}) + y (- 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- y^{3} - 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

Etapa 5.2.3.3.6

Fatore $- 1$ de $- y^{3}$ .

$y' = \frac{y (- (y^{3}) - 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

Etapa 5.2.3.3.7

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{y (- (y^{3}) - (2 x))}{x (2 y^{3} - x)}$

Etapa 5.2.3.3.8

Fatore $- 1$ de $- (y^{3}) - (2 x)$ .

$y' = \frac{y (- (y^{3} + 2 x))}{x (2 y^{3} - x)}$

Etapa 5.2.3.3.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.2.3.3.9.1

Reescreva $- (y^{3} + 2 x)$ como $- 1 (y^{3} + 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y^{3} + 2 x))}{x (2 y^{3} - x)}$

Etapa 5.2.3.3.9.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y (y^{3} + 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y^{3} + 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$