Cálculo Exemplos

$3^{x} + 2021$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3^{x} + 2021$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [2021]$ .

$\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [2021]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $3$ .

$3^{x} \ln (3) + \frac{d}{d x} [2021]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.3.1

Como $2021$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2021$ em relação a $x$ é $0$ .

$3^{x} \ln (3) + 0$

Etapa 1.3.2

Some $3^{x} \ln (3)$ e $0$ .

$f' (x) = 3^{x} \ln (3)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $\ln (3)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3^{x} \ln (3)$ em relação a $x$ é $\ln (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$ .

$\ln (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $3$ .

$\ln (3) (3^{x} \ln (3))$

Etapa 2.3

Eleve $\ln (3)$ à potência de $1$ .

$3^{x} (\ln^{1} (3) \ln (3))$

Etapa 2.4

Eleve $\ln (3)$ à potência de $1$ .

$3^{x} (\ln^{1} (3) \ln^{1} (3))$

Etapa 2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3^{x} {\ln (3)}^{1 + 1}$

Etapa 2.6

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 3^{x} \ln^{2} (3)$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Como $\ln^{2} (3)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3^{x} \ln^{2} (3)$ em relação a $x$ é $\ln^{2} (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$ .

$\ln^{2} (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $3$ .

$\ln^{2} (3) (3^{x} \ln (3))$

Etapa 3.3

Multiplique $\ln^{2} (3)$ por $\ln (3)$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1

Mova $\ln (3)$ .

$\ln (3) \ln^{2} (3) \cdot 3^{x}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $\ln (3)$ por $\ln^{2} (3)$ .

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Etapa 3.3.2.1

Eleve $\ln (3)$ à potência de $1$ .

$\ln^{1} (3) \ln^{2} (3) \cdot 3^{x}$

Etapa 3.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\ln (3)}^{1 + 2} \cdot 3^{x}$

Etapa 3.3.3

Some $1$ e $2$ .

$\ln^{3} (3) \cdot 3^{x}$

Etapa 3.4

Reordene os fatores de $\ln^{3} (3) \cdot 3^{x}$ .

$f''' (x) = 3^{x} \ln^{3} (3)$