Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 2} \frac{{(x + 3)}^{5} - 1}{x^{2} - 4}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 2} {(x + 3)}^{5} - 1}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} {(x + 3)}^{5} - lim_{x \to - 2} 1}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o expoente $5$ de ${(x + 3)}^{5}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x + 3)}^{5} - lim_{x \to - 2} 1}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 3)}^{5} - lim_{x \to - 2} 1}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.1.4

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x + 3)}^{5} - lim_{x \to - 2} 1}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.1.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x + 3)}^{5} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{{(- 2 + 3)}^{5} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Some $- 2$ e $3$ .

$\frac{1^{5} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{2} - lim_{x \to - 2} 4}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - lim_{x \to - 2} 4}$

Etapa 1.1.3.1.3

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{0}{{(- 2)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 2} \frac{{(x + 3)}^{5} - 1}{x^{2} - 4} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${(x + 3)}^{5} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x + 3$ .

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Etapa 1.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.3.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.3.5

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.3.6

Multiplique $5$ por $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.5

Some $5 {(x + 3)}^{4}$ e $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4}}{2 x + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4}}{2 x}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{5}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{5}{2} lim_{x \to - 2} \frac{{(x + 3)}^{4}}{x}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - 2} {(x + 3)}^{4}}{lim_{x \to - 2} x}$

Etapa 2.3

Mova o expoente $4$ de ${(x + 3)}^{4}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{5}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to - 2} x + 3)}^{4}}{lim_{x \to - 2} x}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 3)}^{4}}{lim_{x \to - 2} x}$

Etapa 2.5

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to - 2} x + 3)}^{4}}{lim_{x \to - 2} x}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $- 2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{{(- 2 + 3)}^{4}}{lim_{x \to - 2} x}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{{(- 2 + 3)}^{4}}{- 2}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Combine.

$\frac{5 {(- 2 + 3)}^{4}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.1

Some $- 2$ e $3$ .

$\frac{5 \cdot 1^{4}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 4.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{5 \cdot 1}{2 \cdot - 2}$

Etapa 4.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{5 \cdot 1}{- 4}$

Etapa 4.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{5}{- 4}$

Etapa 4.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5}{4}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{5}{4}$

Forma decimal:

$- 1.25$