Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{5}}{x^{3} - 1} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida usando a divisão polinomial longa.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 1.1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{5}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{3}$ .

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 1.1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

Etapa 1.1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{5} + 0 + 0 - x^{2}$ .

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

Etapa 1.1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

Etapa 1.1.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 1.1.7

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{3} - 1}$

Etapa 1.2

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore a fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{x^{2}}{x^{3} - 1^{3}}$

Etapa 1.2.1.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

Etapa 1.2.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.3.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

Etapa 1.2.1.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 1.2.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Etapa 1.2.3

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$

Etapa 1.2.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{x^{2} (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Etapa 1.2.5

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Etapa 1.2.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Etapa 1.2.6

Cancele o fator comum de $x^{2} + x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Etapa 1.2.6.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Etapa 1.2.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} = \frac{A (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Etapa 1.2.7.1.2

Divida $(A) (x^{2} + x + 1)$ por $1$ .

$x^{2} = (A) (x^{2} + x + 1) + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Etapa 1.2.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Etapa 1.2.7.3

Multiplique $A$ por $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Etapa 1.2.7.4

Cancele o fator comum de $x^{2} + x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.4.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Etapa 1.2.7.4.2

Divida $(B x + C) (x - 1)$ por $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + (B x + C) (x - 1)$

Etapa 1.2.7.5

Expanda $(B x + C) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x (x - 1) + C (x - 1)$

Etapa 1.2.7.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C (x - 1)$

Etapa 1.2.7.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Etapa 1.2.7.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.6.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.6.1.1

Mova $x$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Etapa 1.2.7.6.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Etapa 1.2.7.6.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $B x$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 1$

Etapa 1.2.7.6.3

Reescreva $- 1 (B x)$ como $- (B x)$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - (B x) + C x + C \cdot - 1$

Etapa 1.2.7.6.4

Mova $- 1$ para a esquerda de $C$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - 1 \cdot C$

Etapa 1.2.7.6.5

Reescreva $- 1 C$ como $- C$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Etapa 1.2.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1

Reordene $B$ e $x^{2}$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Etapa 1.2.8.2

Mova $B$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 x B + C x - C$

Etapa 1.2.8.3

Mova $A$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + B x^{2} - 1 x B + C x + A - C$

Etapa 1.2.8.4

Mova $A x$ .

$x^{2} = A x^{2} + B x^{2} + A x - 1 x B + C x + A - C$

Etapa 1.3

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 1.3.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A - 1 B + C$

Etapa 1.3.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A - 1 C$

Etapa 1.3.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = A + B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

$1 = A + B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

Etapa 1.4

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Resolva $A$ em $1 = A + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

Etapa 1.4.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

Etapa 1.4.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1 - B$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A - 1 B + C$ por $1 - B$ .

$0 = (1 - B) - 1 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique $(1 - B) - 1 B + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$0 = 1 - B - B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Subtraia $B$ de $- B$ .

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

Etapa 1.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A - 1 C$ por $1 - B$ .

$0 = (1 - B) - 1 C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

Etapa 1.4.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.4.1

Reescreva $- 1 C$ como $- C$ .

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

Etapa 1.4.3

Reordene $1$ e $- B$ .

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

Etapa 1.4.4

Resolva $C$ em $0 = 1 - 2 B + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.1

Reescreva a equação como $1 - 2 B + C = 0$ .

$1 - 2 B + C = 0$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

Etapa 1.4.4.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 B + C = - 1$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

Etapa 1.4.4.2.2

Some $2 B$ aos dois lados da equação.

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

Etapa 1.4.5

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $- 1 + 2 B$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.5.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $0 = 1 - B - C$ por $- 1 + 2 B$ .

$0 = 1 - B - (- 1 + 2 B)$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Etapa 1.4.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.5.2.1

Simplifique $1 - B - (- 1 + 2 B)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.5.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 = 1 - B + 1 - (2 B)$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Etapa 1.4.5.2.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$0 = 1 - B + 1 - (2 B)$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Etapa 1.4.5.2.1.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 = 1 - B + 1 - 2 B$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B + 1 - 2 B$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Etapa 1.4.5.2.1.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.5.2.1.2.1

Some $1$ e $1$ .

$0 = - B + 2 - 2 B$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Etapa 1.4.5.2.1.2.2

Subtraia $2 B$ de $- B$ .

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Etapa 1.4.6

Resolva $B$ em $0 = - 3 B + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1

Reescreva a equação como $- 3 B + 2 = 0$ .

$- 3 B + 2 = 0$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Etapa 1.4.6.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- 3 B = - 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Etapa 1.4.6.3

Divida cada termo em $- 3 B = - 2$ por $- 3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.3.1

Divida cada termo em $- 3 B = - 2$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Etapa 1.4.6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Etapa 1.4.6.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Etapa 1.4.6.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Etapa 1.4.7

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{2}{3}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.7.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $C = - 1 + 2 B$ por $\frac{2}{3}$ .

$C = - 1 + 2 (\frac{2}{3})$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Etapa 1.4.7.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.7.2.1

Simplifique $- 1 + 2 (\frac{2}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.7.2.1.1

Multiplique $2 (\frac{2}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.7.2.1.1.1

Combine $2$ e $\frac{2}{3}$ .

$C = - 1 + \frac{2 \cdot 2}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Etapa 1.4.7.2.1.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$C = - 1 + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = - 1 + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Etapa 1.4.7.2.1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$C = - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Etapa 1.4.7.2.1.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$C = \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Etapa 1.4.7.2.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$C = \frac{- 1 \cdot 3 + 4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Etapa 1.4.7.2.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.7.2.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$C = \frac{- 3 + 4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Etapa 1.4.7.2.1.5.2

Some $- 3$ e $4$ .

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Etapa 1.4.7.3

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = - B + 1$ por $\frac{2}{3}$ .

$A = - (\frac{2}{3}) + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Etapa 1.4.7.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.7.4.1

Simplifique $- (\frac{2}{3}) + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.7.4.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$A = - \frac{2}{3} + \frac{3}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Etapa 1.4.7.4.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{- 2 + 3}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Etapa 1.4.7.4.1.3

Some $- 2$ e $3$ .

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Etapa 1.4.8

Liste todas as soluções.

$A = \frac{1}{3}, C = \frac{1}{3}, B = \frac{2}{3}$

Etapa 1.5

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $x^{2} + \frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{\frac{2}{3 x} + \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $3$ .

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Etapa 1.6.1.1

Multiplique $\frac{\frac{2}{3} x + \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{2}{3} x + \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Etapa 1.6.1.2

Combine.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x + \frac{1}{3})}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x) + 3 (\frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Etapa 1.6.3

Simplifique os termos.

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Etapa 1.6.3.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.6.3.1.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x) + 3 (\frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Etapa 1.6.3.1.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x) + 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Etapa 1.6.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.6.3.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3}) \cdot x + 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Etapa 1.6.3.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Etapa 1.6.3.3

Fatore $3$ de $3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1$ .

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Etapa 1.6.3.3.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2}) + 3 x + 3 \cdot 1}$

Etapa 1.6.3.3.2

Fatore $3$ de $3 x$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 \cdot 1}$

Etapa 1.6.3.3.3

Fatore $3$ de $3 \cdot 1$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 (1)}$

Etapa 1.6.3.3.4

Fatore $3$ de $3 (x^{2}) + 3 (x)$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x) + 3 (1)}$

Etapa 1.6.3.3.5

Fatore $3$ de $3 (x^{2} + x) + 3 (1)$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 1.6.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x^{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 1.6.5

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$\int x^{2} + \frac{1}{3 (x - 1)} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{2} d x + \int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Etapa 4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Etapa 5

Deixe $u_{1} = x - 1$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u_{1} = x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 5.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Etapa 7

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1} d x$

Etapa 8

Deixe $u_{2} = x^{2} + x + 1$ . Depois, $d u_{2} = (2 x + 1) d x$ , então, $\frac{1}{2 x + 1} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u_{2} = x^{2} + x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Etapa 8.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 8.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 8.1.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 1 + 0$

Etapa 8.1.6

Some $2 x + 1$ e $0$ .

$2 x + 1$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 10

Simplifique.

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 11

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 11.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \ln (| x - 1 |) + \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 11.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \ln (| x - 1 |) + \frac{1}{3} \ln (| x^{2} + x + 1 |) + C$