Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} x^{4} e^{2 x^{5} - 7} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 2 x^{5} - 7$ . Depois, $d u = 10 x^{4} d x$ , então, $\frac{1}{10} d u = x^{4} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 2 x^{5} - 7$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $2 x^{5} - 7$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5} - 7]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{5} - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{5}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{5}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $5$ por $2$ .

$10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$10 x^{4} + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $10 x^{4}$ e $0$ .

$10 x^{4}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 2 x^{5} - 7$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0^{5} - 7$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 - 7$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 - 7$

Etapa 1.3.2

Subtraia $7$ de $0$ .

$u_{lower} = - 7$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 2 x^{5} - 7$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1^{5} - 7$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 2 \cdot 1 - 7$

Etapa 1.5.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u_{upper} = 2 - 7$

Etapa 1.5.2

Subtraia $7$ de $2$ .

$u_{upper} = - 5$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 7$

$u_{upper} = - 5$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{- 7}^{- 5} e^{u} \frac{1}{10} d u$

Etapa 2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{10}$ .

$\int_{- 7}^{- 5} \frac{e^{u}}{10} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{10}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{10}$ para fora da integral.

$\frac{1}{10} \int_{- 7}^{- 5} e^{u} d u$

Etapa 4

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{10} e^{u}]_{- 7}^{- 5}$

Etapa 5

Avalie $e^{u}$ em $- 5$ e em $- 7$ .

$\frac{1}{10} (e^{- 5} - e^{- 7})$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{10} e^{- 5} + \frac{1}{10} (- e^{- 7})$

Etapa 6.2

Combine $\frac{1}{10}$ e $e^{- 5}$ .

$\frac{e^{- 5}}{10} + \frac{1}{10} (- e^{- 7})$

Etapa 6.3

Combine $\frac{1}{10}$ e $e^{- 7}$ .

$\frac{e^{- 5}}{10} - \frac{e^{- 7}}{10}$

Etapa 6.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.4.1

Mova $e^{- 5}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{10 e^{5}} - \frac{e^{- 7}}{10}$

Etapa 6.4.2

Mova $e^{- 7}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{10 e^{5}} - \frac{1}{10 e^{7}}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{10 e^{5}} - \frac{1}{10 e^{7}}$

Forma decimal:

$0.00058260 \dots$

Etapa 8