Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 2 x^{- 1}}{x + 4 x^{- 1}}$

Etapa 1

Simplifique os termos.

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Etapa 1.1

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 1.1.1

Converta os expoentes negativos em frações.

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Etapa 1.1.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 2 \frac{1}{x}}{x + 4 x^{- 1}}$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 2 \frac{1}{x}}{x + 4 \frac{1}{x}}$

Etapa 1.1.2

Combine os fatores.

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Etapa 1.1.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + \frac{2}{x}}{x + 4 \frac{1}{x}}$

Etapa 1.1.2.2

Combine $4$ e $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + \frac{2}{x}}{x + \frac{4}{x}}$

Etapa 1.1.3

Combine os termos.

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Etapa 1.1.3.1

Para escrever $3 x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x \cdot x}{x} + \frac{2}{x}}{x + \frac{4}{x}}$

Etapa 1.1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x \cdot x + 2}{x}}{x + \frac{4}{x}}$

Etapa 1.1.3.3

Para escrever $x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x \cdot x + 2}{x}}{\frac{x \cdot x}{x} + \frac{4}{x}}$

Etapa 1.1.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x \cdot x + 2}{x}}{\frac{x \cdot x + 4}{x}}$

Etapa 1.2

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 1.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x \cdot x + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}$

Etapa 1.2.2

Combine os fatores.

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Etapa 1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (x^{1} x) + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}$

Etapa 1.2.2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (x^{1} x^{1}) + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}$

Etapa 1.2.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{1 + 1} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}$

Etapa 1.2.2.4

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}$

Etapa 1.2.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x^{1} x + 4}$

Etapa 1.2.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x^{1} x^{1} + 4}$

Etapa 1.2.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x^{1 + 1} + 4}$

Etapa 1.2.2.8

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.2.2.9

Multiplique $\frac{3 x^{2} + 2}{x}$ por $\frac{x}{x^{2} + 4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{(3 x^{2} + 2) x}{x (x^{2} + 4)}$

Etapa 1.2.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{(3 x^{2} + 2) x}{x (x^{2} + 4)}$

Etapa 1.2.3.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x^{2} + 4}$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4}$

Etapa 3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4}$

Etapa 4

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4}$

Etapa 5

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4}$

Etapa 6

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 4}$

Etapa 8

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 4}$

Etapa 9

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4}$

Etapa 10

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 10.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 2}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4}$

Etapa 10.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 2}{0^{2} + 4}$

Etapa 11

Simplifique a resposta.

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Etapa 11.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0^{2} + 4}$

Etapa 11.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{0 + 2}{0^{2} + 4}$

Etapa 11.1.3

Some $0$ e $2$ .

$\frac{2}{0^{2} + 4}$

Etapa 11.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 11.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{2}{0 + 4}$

Etapa 11.2.2

Some $0$ e $4$ .

$\frac{2}{4}$

Etapa 11.3

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 11.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Etapa 11.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 11.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 11.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$