Cálculo Exemplos

$y' + y'' = 6 e^{2 x}$ , $y = e^{2 x}$

Etapa 1

Encontre $y'$ .

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

Etapa 1.2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 1.3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie.

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Etapa 1.3.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Etapa 1.3.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.2.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

Etapa 1.3.2.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 2 e^{2 x}$

Etapa 2

Encontre $y''$ .

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Etapa 2.1

Determine a derivada.

$y'' = \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Etapa 2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{2 x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'' = 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$y'' = 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$y'' = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$y'' = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.4

Remova os parênteses.

$y'' = 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 2 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$y'' = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y'' = 4 e^{2 x} \cdot 1$

Etapa 2.8

Multiplique $4$ por $1$ .

$y'' = 4 e^{2 x}$

Etapa 3

Substitua na equação diferencial determinada.

$2 e^{2 x} + 4 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

Etapa 4

Some $2 e^{2 x}$ e $4 e^{2 x}$ .

$6 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

Etapa 5

A solução determinada satisfaz a equação diferencial fornecida.

$y = e^{2 x}$ é uma solução para $y' + y'' = 6 e^{2 x}$