Cálculo Exemplos

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{4}{7} {(\frac{7}{6})}^{i - 1}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica infinita pode ser encontrada pela fórmula $\frac{a}{1 - r}$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ e simplificando.

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Etapa 2.1

Substitua $a_{i}$ e $a_{i + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}}{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $\frac{4}{7}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$r = \frac{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}}{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de ${(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}$ e ${(\frac{7}{6})}^{i - 1}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Fatore ${(\frac{7}{6})}^{i - 1}$ de ${(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Etapa 2.2.2.2.4

Divida ${(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}$ por $1$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}$

Etapa 2.2.3

Some $i$ e $0$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{i - (i - 1)}$

Etapa 2.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r = {(\frac{7}{6})}^{i - i - - 1}$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{i - i + 1}$

Etapa 2.2.5

Subtraia $i$ de $i$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{0 + 1}$

Etapa 2.2.6

Some $0$ e $1$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{1}$

Etapa 2.2.7

Simplifique.

$r = \frac{7}{6}$

Etapa 3

Verifique se a série é convergente ou divergente.

Como $| r | \geq 1$ , a série diverge.