Cálculo Exemplos

$\int \frac{x}{e^{2 x}} d x$

Etapa 1

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1

Negative o expoente de $e^{2 x}$ e o mova para fora do denominador.

$\int x {(e^{2 x})}^{- 1} d x$

Etapa 1.2

Multiplique os expoentes em ${(e^{2 x})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x e^{2 x \cdot - 1} d x$

Etapa 1.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\int x e^{- 2 x} d x$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{- 2 x}$ .

$x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine $e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Etapa 3.2

Combine $x$ e $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Etapa 4

Como $- \frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $- \frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Etapa 5.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

Etapa 6

Deixe $u = - 2 x$ . Depois, $d u = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = - 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 6.1.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 6.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 7.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Etapa 9

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Etapa 10.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Etapa 11

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Reescreva $- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ como $- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Etapa 12.2

Simplifique.

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Etapa 12.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Etapa 12.2.2

Combine $e^{- 2 x}$ e $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 x$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Etapa 14

Combine $e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Etapa 15

Reordene os termos.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$