Cálculo Exemplos

$\int x (2 x^{2} + 1) d x$

Etapa 1

Deixe $u = 2 x^{2} + 1$ . Depois, $d u = 4 x d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 2 x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $2 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $4 x$ e $0$ .

$4 x$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u \frac{1}{4} d u$

Etapa 2

Combine $u$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{u}{4} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int u d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva $\frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ como $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 2} u^{2} + C$

Etapa 5.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{1}{8} u^{2} + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{8} {(2 x^{2} + 1)}^{2} + C$