Cálculo Exemplos

$\frac{x - 1}{x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{x - 1}{x^{2}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (x - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 4.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int (x - 1) x^{- 2} d x$

Etapa 5

Multiplique $(x - 1) x^{- 2}$ .

$\int x \cdot x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique $x$ por $x^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1.1

Multiplique $x$ por $x^{- 2}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int x^{1} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Etapa 6.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{1 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Etapa 6.1.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\int x^{- 1} - 1 x^{- 2} d x$

Etapa 6.2

Reescreva $- 1 x^{- 2}$ como $- x^{- 2}$ .

$\int x^{- 1} - x^{- 2} d x$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{- 1} d x + \int - x^{- 2} d x$

Etapa 8

A integral de $x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - x^{- 2} d x$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| x |) + C - \int x^{- 2} d x$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C)$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Simplifique.

$\ln (| x |) - - \frac{1}{x} + C$

Etapa 11.2

Simplifique.

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Etapa 11.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (| x |) + 1 \frac{1}{x} + C$

Etapa 11.2.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$

Etapa 12

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{x - 1}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$