Cálculo Exemplos

$y = \frac{4 x^{2} - 16}{x - 2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{4 x^{2} - 16}{x - 2})$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.1

Fatore $4$ de $4 x^{2} - 16$ .

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Etapa 3.1.1.1

Fatore $4$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (x^{2}) - 16}{x - 2}]$

Etapa 3.1.1.2

Fatore $4$ de $- 16$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 4}{x - 2}]$

Etapa 3.1.1.3

Fatore $4$ de $4 x^{2} + 4 \cdot - 4$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (x^{2} - 4)}{x - 2}]$

Etapa 3.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (x^{2} - 2^{2})}{x - 2}]$

Etapa 3.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{x - 2}]$

Etapa 3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{x - 2}]$

Etapa 3.2.1.2

Divida $4 (x + 2)$ por $1$ .

$\frac{d}{d y} [4 (x + 2)]$

Etapa 3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d y} [4 x + 4 \cdot 2]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{d}{d y} [4 x + 8]$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + 8$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [8]$ .

$\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [8]$

Etapa 3.4

Como $4$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $4 x$ em relação a $y$ é $4 \frac{d}{d y} [x]$ .

$4 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [8]$

Etapa 3.5

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$4 x' + \frac{d}{d y} [8]$

Etapa 3.6

Como $8$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $8$ em relação a $y$ é $0$ .

$4 x' + 0$

Etapa 3.7

Some $4 x'$ e $0$ .

$4 x'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = 4 x'$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $4 x' = 1$ .

$4 x' = 1$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $4 x' = 1$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $4 x' = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x'}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x'}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{4}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{4}$