Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 1$ is concave down at $x = 1$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = 1$ .

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Etapa 1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$y = {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 1$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = 1^{3} - 6 {(1)}^{2} + 1$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses.

$y = 1^{3} - 6 \cdot 1^{2} + 1$

Etapa 1.2.3

Remova os parênteses.

$y = {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 1$

Etapa 1.2.4

Simplifique ${(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 1$ .

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Etapa 1.2.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = 1 - 6 {(1)}^{2} + 1$

Etapa 1.2.4.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = 1 - 6 \cdot 1 + 1$

Etapa 1.2.4.1.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$y = 1 - 6 + 1$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 1.2.4.2.1

Subtraia $6$ de $1$ .

$y = - 5 + 1$

Etapa 1.2.4.2.2

Some $- 5$ e $1$ .

$y = - 4$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = - 4$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 6 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 0$

Etapa 2.3.2

Some $3 x^{2} - 12 x$ e $0$ .

$3 x^{2} - 12 x$

Etapa 2.4

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 \cdot 1 - 12 \cdot 1$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 - 12 \cdot 1$

Etapa 2.5.1.3

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$3 - 12$

Etapa 2.5.2

Subtraia $12$ de $3$ .

$- 9$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $- 9$ e um ponto determinado $(1, - 4)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 4) = - 9 \cdot (x - (1))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 4 = - 9 \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $- 9 \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y + 4 = 0 + 0 - 9 \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y + 4 = - 9 \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + 4 = - 9 x - 9 \cdot - 1$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $- 9$ por $- 1$ .

$y + 4 = - 9 x + 9$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$y = - 9 x + 9 - 4$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $4$ de $9$ .

$y = - 9 x + 5$

Etapa 4