Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x - 4}{x + 3})}^{2 x + 1}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(\frac{x - 4}{x + 3})}^{2 x + 1}$ como $e^{\ln ({(\frac{x - 4}{x + 3})}^{2 x + 1})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x - 4}{x + 3})}^{2 x + 1})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(\frac{x - 4}{x + 3})}^{2 x + 1})$ movendo $2 x + 1$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{(2 x + 1) \ln (\frac{x - 4}{x + 3})}$

Etapa 2

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) \ln (\frac{x - 4}{x + 3})}$

Etapa 3

Reescreva $(2 x + 1) \ln (\frac{x - 4}{x + 3})$ como $\frac{\ln (\frac{x - 4}{x + 3})}{\frac{1}{2 x + 1}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x - 4}{x + 3})}{\frac{1}{2 x + 1}}}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x - 4}{x + 3})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Etapa 4.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 4.1.2.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x - 4}{x + 3})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Etapa 4.1.2.2

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{- 4}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Etapa 4.1.2.3

Avalie o limite.

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Etapa 4.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.1.2.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{- 4}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Etapa 4.1.2.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{- 4}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Etapa 4.1.2.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Etapa 4.1.2.3.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.1.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Etapa 4.1.2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{x}}{1 + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Etapa 4.1.2.3.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Etapa 4.1.2.3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Etapa 4.1.2.3.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Etapa 4.1.2.3.6

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Etapa 4.1.2.4

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Etapa 4.1.2.5

Avalie o limite.

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Etapa 4.1.2.5.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Etapa 4.1.2.5.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - 4 \cdot 0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Etapa 4.1.2.5.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - 4 \cdot 0}{1 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Etapa 4.1.2.6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 - 4 \cdot 0}{1 + 3 \cdot 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Etapa 4.1.2.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1.2.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.2.7.1.1

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1 + 3 \cdot 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Etapa 4.1.2.7.1.2

Some $1$ e $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 + 3 \cdot 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Etapa 4.1.2.7.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1.2.7.2.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 + 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Etapa 4.1.2.7.2.2

Some $1$ e $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Etapa 4.1.2.7.3

Divida $1$ por $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Etapa 4.1.2.7.4

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x + 1}}}$

Etapa 4.1.3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{2 x + 1}$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Etapa 4.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$e^{\frac{0}{0}}$

Etapa 4.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x - 4}{x + 3})}{\frac{1}{2 x + 1}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x - 4}{x + 3})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x - 4}{x + 3})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x - 4}{x + 3}$ .

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Etapa 4.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x - 4}{x + 3}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 3}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Etapa 4.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 3}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Etapa 4.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x - 4}{x + 3}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x - 4}{x + 3}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 3}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Etapa 4.3.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{x - 4}{x + 3}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x + 3}{x - 4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 3}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Etapa 4.3.4

Multiplique $\frac{x + 3}{x - 4}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 3}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Etapa 4.3.5

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 4$ e $g (x) = x + 3$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Etapa 4.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Etapa 4.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Etapa 4.3.8

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{(x + 3) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Etapa 4.3.9

Some $1$ e $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{(x + 3) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Etapa 4.3.10

Multiplique $x + 3$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Etapa 4.3.11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3 - (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Etapa 4.3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3 - (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Etapa 4.3.13

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3 - (x - 4) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Etapa 4.3.14

Some $1$ e $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3 - (x - 4) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Etapa 4.3.15

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x + 3 - (x - 4)}{{(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Etapa 4.3.16

Multiplique $\frac{x + 3}{x - 4}$ por $\frac{x + 3 - (x - 4)}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x + 3) (x + 3 - (x - 4))}{(x - 4) {(x + 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Etapa 4.3.17

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.17.1

Fatore $x + 3$ de $(x - 4) {(x + 3)}^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x + 3) (x + 3 - (x - 4))}{(x + 3) (x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Etapa 4.3.17.2

Cancele o fator comum.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x + 3) (x + 3 - (x - 4))}{(x + 3) (x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Etapa 4.3.17.3

Reescreva a expressão.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3 - (x - 4)}{(x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Etapa 4.3.18

Simplifique.

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Etapa 4.3.18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 3 - x - - 4}{(x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Etapa 4.3.18.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.18.2.1

Combine os termos opostos em $x + 3 - x - - 4$ .

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Etapa 4.3.18.2.1.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 + 3 - - 4}{(x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Etapa 4.3.18.2.1.2

Some $0$ e $3$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 - - 4}{(x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Etapa 4.3.18.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 + 4}{(x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Etapa 4.3.18.2.3

Some $3$ e $4$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x - 4) (x + 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Etapa 4.3.18.3

Reordene os termos.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x + 1}]}}$

Etapa 4.3.19

Reescreva $\frac{1}{2 x + 1}$ como ${(2 x + 1)}^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{\frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]}}$

Etapa 4.3.20

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

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Etapa 4.3.20.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x + 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]}}$

Etapa 4.3.20.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]}}$

Etapa 4.3.20.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]}}$

Etapa 4.3.21

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}}$

Etapa 4.3.22

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}}$

Etapa 4.3.23

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}}$

Etapa 4.3.24

Multiplique $2$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d x} [1])}}$

Etapa 4.3.25

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 + 0)}}$

Etapa 4.3.26

Some $2$ e $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- {(2 x + 1)}^{- 2} \cdot 2}}$

Etapa 4.3.27

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- 2 {(2 x + 1)}^{- 2}}}$

Etapa 4.3.28

Simplifique.

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Etapa 4.3.28.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- 2 \frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}}}$

Etapa 4.3.28.2

Combine os termos.

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Etapa 4.3.28.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{\frac{- 2}{{(2 x + 1)}^{2}}}}$

Etapa 4.3.28.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}}{- \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}}}$

Etapa 4.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{7}{(x + 3) (x - 4)} \cdot - 1 \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{2}}$

Etapa 4.5

Multiplique $\frac{7}{(x + 3) (x - 4)}$ por $\frac{{(2 x + 1)}^{2}}{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{7 {(2 x + 1)}^{2}}{(x + 3) (x - 4) \cdot 2}}$

Etapa 4.6

Mova $2$ para a esquerda de $(x + 3) (x - 4)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{7 {(2 x + 1)}^{2}}{2 (x + 3) (x - 4)}}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{7 {(2 x + 1)}^{2}}{2 (x + 3) (x - 4)}}$

Etapa 5.2

Mova o termo $\frac{7}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{(x + 3) (x - 4)}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Expanda $(x + 3) (x - 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x (x - 4) + 3 (x - 4)}}$

Etapa 6.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x \cdot x + x \cdot - 4 + 3 (x - 4)}}$

Etapa 6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x \cdot x + x \cdot - 4 + 3 x + 3 \cdot - 4}}$

Etapa 6.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x^{2} + x \cdot - 4 + 3 x + 3 \cdot - 4}}$

Etapa 6.2.1.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $x$ .

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x^{2} - 4 \cdot x + 3 x + 3 \cdot - 4}}$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x^{2} - 4 x + 3 x - 12}}$

Etapa 6.2.2

Some $- 4 x$ e $3 x$ .

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x^{2} - x - 12}}$

Etapa 7

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador.

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 12}{x^{2}}}}$

Etapa 8

Avalie o limite.

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Etapa 8.1

Simplifique cada termo.

$e^{- \frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Etapa 8.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Etapa 8.3

Mova o expoente $2$ de ${(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Etapa 8.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Etapa 8.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Etapa 8.6

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.6.1

Cancele o fator comum.

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Etapa 8.6.2

Reescreva a expressão.

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Etapa 8.7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Etapa 9

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

Etapa 10

Avalie o limite.

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Etapa 10.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}}$

Etapa 10.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{2}}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}}$

Etapa 11

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{2}}{1 - 0 - lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}}$

Etapa 12

Mova o termo $12$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{2}}{1 - 0 - 12 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 13

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{2}}{1 - 0 - 12 \cdot 0}}$

Etapa 14

Simplifique a resposta.

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Etapa 14.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{{(2 + 0)}^{2}}{1 - 0 - 12 \cdot 0}}$

Etapa 14.1.2

Some $2$ e $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{2^{2}}{1 - 0 - 12 \cdot 0}}$

Etapa 14.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{1 - 0 - 12 \cdot 0}}$

Etapa 14.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 14.2.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{1 + 0 - 12 \cdot 0}}$

Etapa 14.2.2

Multiplique $- 12$ por $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{1 + 0 + 0}}$

Etapa 14.2.3

Some $1 + 0$ e $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{1 + 0}}$

Etapa 14.2.4

Some $1$ e $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{1}}$

Etapa 14.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 14.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{7}{2}$ para o numerador.

$e^{\frac{- 7}{2} \cdot \frac{4}{1}}$

Etapa 14.3.2

Fatore $2$ de $4$ .

$e^{\frac{- 7}{2} \cdot \frac{2 (2)}{1}}$

Etapa 14.3.3

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{- 7}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{1}}$

Etapa 14.3.4

Reescreva a expressão.

$e^{- 7 \cdot 2}$

Etapa 14.4

Multiplique $- 7$ por $2$ .

$e^{- 14}$

Etapa 15

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{14}}$

Etapa 16

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{e^{14}}$

Forma decimal:

$8.31528719 \cdot 10^{- 7}$