Cálculo Exemplos

$x^{2} y - \frac{x}{y} = - 2$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y - \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} y - \frac{x}{y}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Etapa 2.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{x}{y}$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Etapa 2.3.6

Multiplique $y$ por $1$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Etapa 2.3.7

Multiplique $\frac{x}{y}$ por $0$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y - x y'}{y^{2}} + 0$

Etapa 2.3.8

Some $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ e $0$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Combine os termos.

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Etapa 2.4.1.1

Para escrever $x^{2} y'$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$2 y x + \frac{x^{2} y' y^{2}}{y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 y x + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}}$

Etapa 2.4.2

Reordene os termos.

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}}$

Etapa 3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}} = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique $2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}}$ .

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Etapa 5.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - y - (- x y')}{y^{2}} = 0$

Etapa 5.1.1.2

Multiplique $- (- x y')$ .

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Etapa 5.1.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - y + 1 (x y')}{y^{2}} = 0$

Etapa 5.1.1.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Etapa 5.1.2

Para escrever $2 x y$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y \cdot y^{2}}{y^{2}} + \frac{x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Etapa 5.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x y \cdot y^{2} + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Etapa 5.1.4

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1.4.1

Mova $y^{2}$ .

$\frac{2 x (y^{2} y) + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Etapa 5.1.4.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 5.1.4.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{2 x (y^{2} y^{1}) + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Etapa 5.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x y^{2 + 1} + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Etapa 5.1.4.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{2 x y^{3} + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x y^{3} + x^{2} y' y^{2} - y + x y' = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $y'$ .

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Etapa 5.3.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.3.1.1

Subtraia $2 x y^{3}$ dos dois lados da equação.

$x^{2} y' y^{2} - y + x y' = - 2 x y^{3}$

Etapa 5.3.1.2

Some $y$ aos dois lados da equação.

$x^{2} y' y^{2} + x y' = - 2 x y^{3} + y$

Etapa 5.3.2

Fatore $x y'$ de $x^{2} y' y^{2} + x y'$ .

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Etapa 5.3.2.1

Fatore $x y'$ de $x^{2} y' y^{2}$ .

$x y' (x y^{2}) + x y' = - 2 x y^{3} + y$

Etapa 5.3.2.2

Fatore $x y'$ de $x y'$ .

$x y' (x y^{2}) + x y' \cdot 1 = - 2 x y^{3} + y$

Etapa 5.3.2.3

Fatore $x y'$ de $x y' (x y^{2}) + x y' \cdot 1$ .

$x y' (x y^{2} + 1) = - 2 x y^{3} + y$

Etapa 5.3.3

Divida cada termo em $x y' (x y^{2} + 1) = - 2 x y^{3} + y$ por $x (x y^{2} + 1)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.3.1

Divida cada termo em $x y' (x y^{2} + 1) = - 2 x y^{3} + y$ por $x (x y^{2} + 1)$ .

$\frac{x y' (x y^{2} + 1)}{x (x y^{2} + 1)} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y' (x y^{2} + 1)}{x (x y^{2} + 1)} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Etapa 5.3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (x y^{2} + 1)}{x y^{2} + 1} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Etapa 5.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $x y^{2} + 1$ .

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Etapa 5.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x y^{2} + 1)}{x y^{2} + 1} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Etapa 5.3.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Etapa 5.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.3.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- 2 y^{3}}{x y^{2} + 1} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.2

Para escrever $- \frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x y^{2} + 1) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.3.3.3.3.1

Multiplique $\frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y^{3} x}{(x y^{2} + 1) x} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.3.2

Reordene os fatores de $(x y^{2} + 1) x$ .

$y' = - \frac{2 y^{3} x}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 2 y^{3} x + y}{x (x y^{2} + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.5

Fatore $y$ de $- 2 y^{3} x + y$ .

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Etapa 5.3.3.3.5.1

Fatore $y$ de $- 2 y^{3} x$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x) + y}{x (x y^{2} + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.5.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x) + y^{1}}{x (x y^{2} + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.5.3

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x) + y \cdot 1}{x (x y^{2} + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.5.4

Fatore $y$ de $y (- 2 y^{2} x) + y \cdot 1$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x + 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.6

Fatore $- 1$ de $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} x) + 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.7

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} x) - 1 (- 1))}{x (x y^{2} + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.8

Fatore $- 1$ de $- (2 y^{2} x) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} x - 1))}{x (x y^{2} + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.3.3.9.1

Reescreva $- (2 y^{2} x - 1)$ como $- 1 (2 y^{2} x - 1)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (2 y^{2} x - 1))}{x (x y^{2} + 1)}$

Etapa 5.3.3.3.9.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y (2 y^{2} x - 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (2 y^{2} x - 1)}{x (x y^{2} + 1)}$