Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2}}{x + 1}$

Etapa 1

Escreva $\frac{x^{2}}{x + 1}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x + 1}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{x + 1} d x$

Etapa 4

Divida $x^{2}$ por $x + 1$ .

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Etapa 4.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 4.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Etapa 4.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 4.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + x$ .

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 4.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

Etapa 4.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Etapa 4.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Etapa 4.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

Etapa 4.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x - 1$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

Etapa 4.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

Etapa 4.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int x - 1 + \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 7

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 8

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 8.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 8.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 8.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \ln (| u |) + C$

Etapa 10

Simplifique.

$\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |) + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| x + 1 |) + C$

Etapa 12

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{x^{2}}{x + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| x + 1 |) + C$