Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2}}}{x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} x}$

Etapa 1.1.2

À medida que $x$ se aproxima de $\infty$ dos radicais, o valor chega a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Etapa 1.1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2}}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{1}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{1}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} 1$

Etapa 2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$1$