Cálculo Exemplos

${(x^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 1

Escreva ${(x^{2} + 1)}^{2}$ como uma função.

$f (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int {(x^{2} + 1)}^{2} d x$

Etapa 4

Expanda ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Etapa 4.1

Reescreva ${(x^{2} + 1)}^{2}$ como $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\int (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) d x$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1) d x$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1) d x$

Etapa 4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Etapa 4.5

Reordene $x^{2}$ e $1$ .

$\int x^{2} x^{2} + 1 \cdot x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Etapa 4.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{2 + 2} + 1 x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Etapa 4.7

Some $2$ e $2$ .

$\int x^{4} + 1 x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Etapa 4.8

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\int x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Etapa 4.9

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\int x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Etapa 4.10

Multiplique $1$ por $1$ .

$\int x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 d x$

Etapa 4.11

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\int x^{4} + 2 x^{2} + 1 d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{4} d x + \int 2 x^{2} d x + \int d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int 2 x^{2} d x + \int d x$

Etapa 7

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 \int x^{2} d x + \int d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int d x$

Etapa 9

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + x + C$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + x + C$

Etapa 10.2

Simplifique.

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} + x + C$

Etapa 10.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3} + x + C$

Etapa 11

A resposta é a primitiva da função $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3} + x + C$