Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x - 5} + \sqrt{x^{2} + 7}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Etapa 2.1.2.1.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Etapa 2.1.2.1.3

Avalie o limite de $25$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$\frac{5^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.3.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{25 - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Etapa 2.1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$\frac{25 - 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Etapa 2.1.2.3.2

Subtraia $25$ de $25$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Etapa 2.1.3.1.2

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{0}{5 - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Etapa 2.1.3.3.2

Subtraia $5$ de $5$ .

$\frac{0}{0} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Etapa 2.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x - 5} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [x - 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x - 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x - 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Etapa 2.3.4

Como $- 25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 25$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Etapa 2.3.5

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x - 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{1 + \frac{d}{d x} [- 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Etapa 2.3.8

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{1 + 0} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Etapa 2.3.9

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{1} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Etapa 2.4

Divida $2 x$ por $1$ .

$lim_{x \to 5} 2 x + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

Etapa 3.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$2 lim_{x \to 5} x + \sqrt{lim_{x \to 5} x^{2} + 7}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$2 lim_{x \to 5} x + \sqrt{lim_{x \to 5} x^{2} + lim_{x \to 5} 7}$

Etapa 3.4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$2 lim_{x \to 5} x + \sqrt{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} + lim_{x \to 5} 7}$

Etapa 3.5

Avalie o limite de $7$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $5$ .

$2 lim_{x \to 5} x + \sqrt{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 7}$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $5$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$2 \cdot 5 + \sqrt{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 7}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$2 \cdot 5 + \sqrt{5^{2} + 7}$

Etapa 5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$10 + \sqrt{5^{2} + 7}$

Etapa 5.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$10 + \sqrt{25 + 7}$

Etapa 5.3

Some $25$ e $7$ .

$10 + \sqrt{32}$

Etapa 5.4

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $16$ de $32$ .

$10 + \sqrt{16 (2)}$

Etapa 5.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$10 + \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Etapa 5.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$10 + 4 \sqrt{2}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$10 + 4 \sqrt{2}$

Forma decimal:

$15.65685424 \dots$