Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x + 4 x^{3} + \sqrt{x^{3}} + 8$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int 2 x + 4 x^{3} + \sqrt{x^{3}} + 8 d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 2 x d x + \int 4 x^{3} d x + \int \sqrt{x^{3}} d x + \int 8 d x$

Etapa 4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int x d x + \int 4 x^{3} d x + \int \sqrt{x^{3}} d x + \int 8 d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 x^{3} d x + \int \sqrt{x^{3}} d x + \int 8 d x$

Etapa 6

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 \int x^{3} d x + \int \sqrt{x^{3}} d x + \int 8 d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int \sqrt{x^{3}} d x + \int 8 d x$

Etapa 8

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int 8 d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int 8 d x$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int 8 d x$

Etapa 10.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int 8 d x$

Etapa 11

Aplique a regra da constante.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + 8 x + C$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Simplifique.

$x^{2} + x^{4} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 8 x + C$

Etapa 12.2

Reordene os termos.

$x^{2} + x^{4} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + 8 x + C$

Etapa 13

A resposta é a primitiva da função $f (x) = 2 x + 4 x^{3} + \sqrt{x^{3}} + 8$ .

$F (x) =$ $x^{2} + x^{4} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + 8 x + C$