Cálculo Exemplos

$x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$

Etapa 1

Escreva $x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$ como uma função.

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Etapa 2.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Etapa 2.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Etapa 2.1.1.2.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Etapa 2.1.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 8$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Etapa 2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.1.3.1

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18 x^{2}$ em relação a $x$ é $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 18 (2 x)$

Etapa 2.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $18$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Etapa 2.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Etapa 2.1.2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Etapa 2.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.2.3.1

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (36 x)$

Etapa 2.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Etapa 2.1.2.3.3

Multiplique $2$ por $- 24$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

Etapa 2.1.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

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Etapa 2.1.2.4.1

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36 x$ em relação a $x$ é $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 36 \cdot 1$

Etapa 2.1.2.4.3

Multiplique $36$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 36$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{2} - 48 x + 36$ .

$12 x^{2} - 48 x + 36$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$ .

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Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.2.1

Fatore $12$ de $12 x^{2} - 48 x + 36$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Fatore $12$ de $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) - 48 x + 36 = 0$

Etapa 2.2.2.1.2

Fatore $12$ de $- 48 x$ .

$12 (x^{2}) + 12 (- 4 x) + 36 = 0$

Etapa 2.2.2.1.3

Fatore $12$ de $36$ .

$12 x^{2} + 12 (- 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

Etapa 2.2.2.1.4

Fatore $12$ de $12 x^{2} + 12 (- 4 x)$ .

$12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

Etapa 2.2.2.1.5

Fatore $12$ de $12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3$ .

$12 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.2.2.1

Fatore $x^{2} - 4 x + 3$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $3$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 3, - 1$

Etapa 2.2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$12 ((x - 3) (x - 1)) = 0$

Etapa 2.2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$12 (x - 3) (x - 1) = 0$

Etapa 2.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 2.2.4

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.2.4.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.2.4.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 2.2.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.2.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.2.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $12 (x - 3) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, 1$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 1)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 48 \cdot 0 + 36$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 48 \cdot 0 + 36$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $12$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 48 \cdot 0 + 36$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 48$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 36$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 5.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f'' (0) = 0 + 36$

Etapa 5.2.2.2

Some $0$ e $36$ .

$f'' (0) = 36$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $36$ .

$36$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, 1)$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, 1)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(1, 3)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = 12 {(2)}^{2} - 48 \cdot 2 + 36$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (2) = 12 \cdot 4 - 48 \cdot 2 + 36$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $12$ por $4$ .

$f'' (2) = 48 - 48 \cdot 2 + 36$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 48$ por $2$ .

$f'' (2) = 48 - 96 + 36$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 6.2.2.1

Subtraia $96$ de $48$ .

$f'' (2) = - 48 + 36$

Etapa 6.2.2.2

Some $- 48$ e $36$ .

$f'' (2) = - 12$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 12$ .

$- 12$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(1, 3)$ porque $f'' (2)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(1, 3)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(3, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f'' (6) = 12 {(6)}^{2} - 48 \cdot 6 + 36$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f'' (6) = 12 \cdot 36 - 48 \cdot 6 + 36$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $12$ por $36$ .

$f'' (6) = 432 - 48 \cdot 6 + 36$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 48$ por $6$ .

$f'' (6) = 432 - 288 + 36$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 7.2.2.1

Subtraia $288$ de $432$ .

$f'' (6) = 144 + 36$

Etapa 7.2.2.2

Some $144$ e $36$ .

$f'' (6) = 180$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $180$ .

$180$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(3, \infty)$ porque $f'' (6)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(3, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, 1)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(1, 3)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(3, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 9