Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{25 x^{2} - 7}}{x + 2}$

Etapa 1

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{25 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}}{\frac{x}{x} + \frac{2}{x}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{25 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}}{1 + \frac{2}{x}}$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{25 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}}{1 + \frac{2}{x}}$

Etapa 2.2.1.2

Divida $25$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{25 + \frac{- 7}{x^{2}}}}{1 + \frac{2}{x}}$

Etapa 2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{25 - \frac{7}{x^{2}}}}{1 + \frac{2}{x}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{25 - \frac{7}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

Etapa 2.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 25 - \frac{7}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 25 - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $25$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{25 - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

Etapa 2.7

Mova o termo $7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt{25 - 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

Etapa 3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{25 - 7 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

Etapa 4

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{25 - 7 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{25 - 7 \cdot 0}}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}$

Etapa 4.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt{25 - 7 \cdot 0}}{1 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{25 - 7 \cdot 0}}{1 + 2 \cdot 0}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Multiplique $- 7$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{25 + 0}}{1 + 2 \cdot 0}$

Etapa 6.1.2

Some $25$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{25}}{1 + 2 \cdot 0}$

Etapa 6.1.3

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{1 + 2 \cdot 0}$

Etapa 6.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{5}{1 + 2 \cdot 0}$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{5}{1 + 0}$

Etapa 6.2.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{5}{1}$

Etapa 6.3

Divida $5$ por $1$ .

$5$