Cálculo Exemplos

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} = \frac{3}{x y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Resolva $\frac{d x}{d y}$ .

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Etapa 1.1.1

Subtraia $\frac{3}{x y}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} - \frac{3}{x y} = 0$

Etapa 1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d x}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.1.2.1

Subtraia $\frac{x}{y}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d x}{d y} - \frac{3}{x y} = - \frac{x}{y}$

Etapa 1.1.2.2

Some $\frac{3}{x y}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} + \frac{3}{x y}$

Etapa 1.2

Fatore.

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Etapa 1.2.1

Para escrever $- \frac{x}{y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{3}{x y}$

Etapa 1.2.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $y x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.2.2.1

Multiplique $\frac{x}{y}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x \cdot x}{y x} + \frac{3}{x y}$

Etapa 1.2.2.2

Reordene os fatores de $y x$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{3}{x y}$

Etapa 1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x \cdot x + 3}{x y}$

Etapa 1.2.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.4.1

Mova $x$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{- (x \cdot x) + 3}{x y}$

Etapa 1.2.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{x y}$

Etapa 1.3

Reagrupe os fatores.

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Etapa 1.4

Multiplique os dois lados por $\frac{x}{- x^{2} + 3}$ .

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} (\frac{- x^{2} + 3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $\frac{- x^{2} + 3}{x}$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{x y}$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.5.2.1

Fatore $x$ de $x y$ .

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{x (y)}$

Etapa 1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{x y}$

Etapa 1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{y}$

Etapa 1.5.3

Multiplique $\frac{1}{- x^{2} + 3}$ por $\frac{- x^{2} + 3}{y}$ .

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{(- x^{2} + 3) y}$

Etapa 1.5.4

Cancele o fator comum de $- x^{2} + 3$ .

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Etapa 1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{(- x^{2} + 3) y}$

Etapa 1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{y}$

Etapa 1.6

Reescreva a equação.

$\frac{x}{- x^{2} + 3} d x = \frac{1}{y} d y$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{x}{- x^{2} + 3} d x = \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = - x^{2} + 3$ . Depois, $d u = - 2 x d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = - x^{2} + 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $- x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2} + 3]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.2.1.1.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 x + 0$

Etapa 2.2.1.1.4.2

Some $- 2 x$ e $0$ .

$- 2 x$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 2.2.2.3

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 2.2.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 2.2.5

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x^{2} + 3$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 2.3

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |) = \ln (| y |) + C$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |)) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |))$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\ln (| - x^{2} + 3 |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| - x^{2} + 3 |)}{2}) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\ln (| - x^{2} + 3 |)}{2}$ para o numerador.

$- 2 \frac{- \ln (| - x^{2} + 3 |)}{2} = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| - x^{2} + 3 |)}{2} = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - x^{2} + 3 |)}{2} = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$- - \ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.3

Multiplique.

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Etapa 3.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.3.2

Multiplique $\ln (| - x^{2} + 3 |)$ por $1$ .

$\ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 \ln (| y |) - 2 C$

Etapa 3.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| - x^{2} + 3 |) + 2 \ln (| y |) = - 2 C$

Etapa 3.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1

Simplifique $\ln (| - x^{2} + 3 |) + 2 \ln (| y |)$ .

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Etapa 3.4.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.1.1.1

Simplifique $2 \ln (| y |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln (| - x^{2} + 3 |) + \ln ({| y |}^{2}) = - 2 C$

Etapa 3.4.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln (| - x^{2} + 3 |) + \ln (y^{2}) = - 2 C$

Etapa 3.4.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - x^{2} + 3 | y^{2}) = - 2 C$

Etapa 3.4.1.3

Reordene os fatores em $\ln (| - x^{2} + 3 | y^{2})$ .

$\ln (y^{2} | - x^{2} + 3 |) = - 2 C$

Etapa 3.5

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (y^{2} | - x^{2} + 3 |)} = e^{- 2 C}$

Etapa 3.6

Reescreva $\ln (y^{2} | - x^{2} + 3 |) = - 2 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = y^{2} | - x^{2} + 3 |$

Etapa 3.7

Resolva $x$ .

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Etapa 3.7.1

Reescreva a equação como $y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$ .

$y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$

Etapa 3.7.2

Divida cada termo em $y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$ por $y^{2}$ e simplifique.

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Etapa 3.7.2.1

Divida cada termo em $y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$ por $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} | - x^{2} + 3 |}{y^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

Etapa 3.7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.7.2.2.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 3.7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} | - x^{2} + 3 |}{y^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

Etapa 3.7.2.2.1.2

Divida $| - x^{2} + 3 |$ por $1$ .

$| - x^{2} + 3 | = \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

Etapa 3.7.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$- x^{2} + 3 = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

Etapa 3.7.4

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}} - 3$

Etapa 3.7.5

Divida cada termo em $- x^{2} = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}} - 3$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.7.5.1

Divida cada termo em $- x^{2} = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}} - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 3.7.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.7.5.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 3.7.5.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 3.7.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.7.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.7.5.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1}$ .

$x^{2} = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 3.7.5.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}})$ como $- (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}})$ .

$x^{2} = - (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 3.7.5.3.1.3

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$x^{2} = - (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + 3$

Etapa 3.7.6

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + 3}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$x = \pm \sqrt{- (\pm \frac{C}{y^{2}}) + 3}$

Etapa 4.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$x = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{y^{2}}) + 3}$