Cálculo Exemplos

$(\sin (y) - y \sin (x)) d x + (\cos (x) + x \cos (y) - y) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = \sin (y) - y \sin (x)$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y) - y \sin (x)]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (y) - y \sin (x)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [- y \sin (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [- y \sin (x)]$

Etapa 1.3

A derivada de $\sin (y)$ em relação a $y$ é $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + \frac{d}{d y} [- y \sin (x)]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- y \sin (x)]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- \sin (x)$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y \sin (x)$ em relação a $y$ é $- \sin (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) - \sin (x) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) - \sin (x) \cdot 1$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) - \sin (x)$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = \cos (x) + x \cos (y) - y$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (x) + x \cos (y) - y]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (x) + x \cos (y) - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [x \cos (y)]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $\cos (y)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x \cos (y)$ em relação a $x$ é $\cos (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \cos (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.4.3

Multiplique $\cos (y)$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \cos (y) + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.5.1

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \cos (y) + 0$

Etapa 2.5.2

Some $- \sin (x) + \cos (y)$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \cos (y)$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $\cos (y) - \sin (x)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- \sin (x) + \cos (y)$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\cos (y) - \sin (x) = - \sin (x) + \cos (y)$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\cos (y) - \sin (x) = - \sin (x) + \cos (y)$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \sin (y) - y \sin (x) d x$

Etapa 5

Integre $M (x, y) = \sin (y) - y \sin (x)$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int \sin (y) d x + \int - y \sin (x) d x$

Etapa 5.2

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \sin (y) x + C + \int - y \sin (x) d x$

Etapa 5.3

Como $- y$ é constante com relação a $x$ , mova $- y$ para fora da integral.

$f (x, y) = \sin (y) x + C - y \int \sin (x) d x$

Etapa 5.4

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$f (x, y) = \sin (y) x + C - y (- \cos (x) + C)$

Etapa 5.5

Simplifique.

$f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) + g (y)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (y) x + y \cos (x) + g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (y) x + y \cos (x) + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\sin (y) x] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (y) x] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\sin (y) x]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\sin (y) x$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$x \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Etapa 8.3.2

A derivada de $\sin (y)$ em relação a $y$ é $\cos (y)$ .

$x \cos (y) + \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Etapa 8.4

Avalie $\frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

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Etapa 8.4.1

Como $\cos (x)$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y \cos (x)$ em relação a $y$ é $\cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \cos (y) + \cos (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Etapa 8.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x \cos (y) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Etapa 8.4.3

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$x \cos (y) + \cos (x) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Etapa 8.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x \cos (y) + \cos (x) + \frac{d g}{d y} = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Etapa 8.6

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + x \cos (y) + \cos (x) = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Subtraia $x \cos (y)$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} + \cos (x) = \cos (x) + x \cos (y) - y - x \cos (y)$

Etapa 9.1.2

Subtraia $\cos (x)$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = \cos (x) + x \cos (y) - y - x \cos (y) - \cos (x)$

Etapa 9.1.3

Combine os termos opostos em $\cos (x) + x \cos (y) - y - x \cos (y) - \cos (x)$ .

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Etapa 9.1.3.1

Subtraia $x \cos (y)$ de $x \cos (y)$ .

$\frac{d g}{d y} = \cos (x) - y + 0 - \cos (x)$

Etapa 9.1.3.2

Some $\cos (x) - y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = \cos (x) - y - \cos (x)$

Etapa 9.1.3.3

Subtraia $\cos (x)$ de $\cos (x)$ .

$\frac{d g}{d y} = - y + 0$

Etapa 9.1.3.4

Some $- y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $- y$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = - y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y d y$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y d y$

Etapa 10.3

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = - \int y d y$

Etapa 10.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 10.5

Reescreva $- (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $- \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) + g (y)$ .

$f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 12

Simplifique $f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) - \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

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Etapa 12.1

Combine $y^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) - \frac{y^{2}}{2} + C$

Etapa 12.2

Reordene os fatores em $f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) - \frac{y^{2}}{2} + C$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + y \cos (x) - \frac{y^{2}}{2} + C$