Cálculo Exemplos

$\frac{d f}{d x} = 12 x^{5} - 4 x + 3$ , $f (- 1) = 3$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d f = (12 x^{5} - 4 x + 3) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d f = \int 12 x^{5} - 4 x + 3 d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$f + C_{1} = \int 12 x^{5} - 4 x + 3 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f + C_{1} = \int 12 x^{5} d x + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Etapa 2.3.2

Como $12$ é constante com relação a $x$ , mova $12$ para fora da integral.

$f + C_{1} = 12 \int x^{5} d x + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Etapa 2.3.4

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) - 4 \int x d x + \int 3 d x$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 3 d x$

Etapa 2.3.6

Aplique a regra da constante.

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $x^{6}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Etapa 2.3.7.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

$f + C_{1} = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + C_{5}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $- 1$ por $x$ e $3$ por $f$ em $f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + K$ .

$3 = 2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$ .

$2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Etapa 4.2

Simplifique $2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K$ .

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $6$ .

$2 \cdot 1 - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Etapa 4.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$2 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$2 - 2 + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Etapa 4.2.1.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$2 - 2 - 3 + K = 3$

Etapa 4.2.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 4.2.2.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$0 - 3 + K = 3$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $3$ de $0$ .

$- 3 + K = 3$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$K = 3 + 3$

Etapa 4.3.2

Some $3$ e $3$ .

$K = 6$

Etapa 5

Substitua $6$ por $K$ em $f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $6$ por $K$ .

$f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + 6$