Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + y = \sin (e^{x})$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 1$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int d x}$

Etapa 1.2

Aplique a regra da constante.

$e^{x + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{x}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{x}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (e^{x})$

Etapa 2.2

Reordene os fatores em $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (e^{x})$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{x} \sin (e^{x})$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{x} \sin (e^{x})$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{x} \sin (e^{x}) d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{x} y = \int e^{x} \sin (e^{x}) d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Deixe $u = e^{x}$ . Depois, $d u = e^{x} d x$ , então, $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1.1

Deixe $u = e^{x}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Diferencie $e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 6.1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x}$

Etapa 6.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{x} y = \int \sin (u) d u$

Etapa 6.2

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$e^{x} y = - \cos (u) + C$

Etapa 6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $e^{x}$ .

$e^{x} y = - \cos (e^{x}) + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{x} y = - \cos (e^{x}) + C$ por $e^{x}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{x} y = - \cos (e^{x}) + C$ por $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{- \cos (e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{- \cos (e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \cos (e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{\cos (e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$