Cálculo Exemplos

$(2 x + \frac{y}{x}) d x + (4 y + \ln (x)) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 x + \frac{y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + \frac{y}{x}]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + \frac{y}{x}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Etapa 1.2.2

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $\frac{1}{x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{y}{x}$ em relação a $y$ é $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x} \cdot 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x}$

Etapa 1.4

Some $0$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 4 y + \ln (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 y + \ln (x)]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 y + \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 2.2.2

Como $4 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 2.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{x}$

Etapa 2.4

Some $0$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $\frac{1}{x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $\frac{1}{x}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 y + \ln (x) d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = 4 y + \ln (x)$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int 4 y d y + \int \ln (x) d y$

Etapa 5.2

Como $4$ é constante com relação a $y$ , mova $4$ para fora da integral.

$f (x, y) = 4 \int y d y + \int \ln (x) d y$

Etapa 5.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int \ln (x) d y$

Etapa 5.4

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \ln (x) y + C$

Etapa 5.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = 4 (\frac{y^{2}}{2} + C) + \ln (x) y + C$

Etapa 5.6

Simplifique.

$f (x, y) = 2 y^{2} + \ln (x) y + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 y^{2} + \ln (x) y + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + \frac{y}{x}$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{2} + \ln (x) y + g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

Etapa 8.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y^{2} + \ln (x) y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

Etapa 8.2.2

Como $2 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\ln (x) y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\ln (x) y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$0 + y \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

Etapa 8.3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$0 + y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

Etapa 8.3.3

Combine $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = 2 x + \frac{y}{x}$

Etapa 8.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Some $0$ e $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = 2 x + \frac{y}{x}$

Etapa 8.5.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} = 2 x + \frac{y}{x}$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - 2 x = \frac{y}{x}$

Etapa 9.1.1.2

Subtraia $\frac{y}{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - 2 x - \frac{y}{x} = 0$

Etapa 9.1.1.3

Combine os termos opostos em $\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - 2 x - \frac{y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.3.1

Subtraia $\frac{y}{x}$ de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x + 0 = 0$

Etapa 9.1.1.3.2

Some $\frac{d g}{d x} - 2 x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x = 0$

Etapa 9.1.2

Some $2 x$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $2 x$ para encontrar $g (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x d x$

Etapa 10.3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$g (x) = 2 \int x d x$

Etapa 10.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 10.5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Etapa 10.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Etapa 10.5.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Etapa 10.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$g (x) = 1 x^{2} + C$

Etapa 10.5.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$g (x) = x^{2} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = 2 y^{2} + \ln (x) y + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 y^{2} + \ln (x) y + x^{2} + C$

Etapa 12

Reordene os fatores em $f (x, y) = 2 y^{2} + \ln (x) y + x^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 y^{2} + y \ln (x) + x^{2} + C$