Cálculo Exemplos

$\frac{d x}{d t} = - 6 x + 4 x y$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Fatore $2 x$ de $- 6 x + 4 x y$ .

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Etapa 1.1.1

Fatore $2 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{d x}{d t} = 2 x (- 3) + 4 x y$

Etapa 1.1.2

Fatore $2 x$ de $4 x y$ .

$\frac{d x}{d t} = 2 x (- 3) + 2 x (2 y)$

Etapa 1.1.3

Fatore $2 x$ de $2 x (- 3) + 2 x (2 y)$ .

$\frac{d x}{d t} = 2 x (- 3 + 2 y)$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x} (2 x (- 3 + 2 y))$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = 2 \frac{1}{x} (x (- 3 + 2 y))$

Etapa 1.3.2

Combine $2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = \frac{2}{x} (x (- 3 + 2 y))$

Etapa 1.3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = \frac{2}{x} (x (- 3 + 2 y))$

Etapa 1.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = 2 (- 3 + 2 y)$

Etapa 1.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = 2 \cdot - 3 + 2 (2 y)$

Etapa 1.3.5

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = - 6 + 2 (2 y)$

Etapa 1.3.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = - 6 + 4 y$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{x} d x = (- 6 + 4 y) d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{x} d x = \int - 6 + 4 y d t$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - 6 + 4 y d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - 6 d t + \int 4 y d t$

Etapa 2.3.2

Aplique a regra da constante.

$\ln (| x |) + C_{1} = - 6 t + C_{2} + \int 4 y d t$

Etapa 2.3.3

Aplique a regra da constante.

$\ln (| x |) + C_{1} = - 6 t + C_{2} + 4 y t + C_{3}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$\ln (| x |) + C_{1} = - 6 t + 4 y t + C_{4}$

Etapa 2.3.5

Reordene os termos.

$\ln (| x |) + C_{1} = 4 t y - 6 t + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| x |) = 4 t y - 6 t + C$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| x |)} = e^{4 t y - 6 t + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| x |) = 4 t y - 6 t + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{4 t y - 6 t + C} = | x |$

Etapa 3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| x | = e^{4 t y - 6 t + C}$ .

$| x | = e^{4 t y - 6 t + C}$

Etapa 3.3.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$x = \pm e^{4 t y - 6 t + C}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{4 t y - 6 t + C}$ como $e^{4 t y - 6 t} e^{C}$ .

$x = \pm e^{4 t y - 6 t} e^{C}$

Etapa 4.2

Reordene $e^{4 t y - 6 t}$ e $e^{C}$ .

$x = \pm e^{C} e^{4 t y - 6 t}$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$x = C e^{4 t y - 6 t}$