Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$ , $y (3) = 7$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (x^{2} - 1) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.3

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - x + C_{3}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $3$ por $x$ e $7$ por $y$ em $y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$ .

$7 = \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K = 7$ .

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K = 7$

Etapa 4.2

Simplifique $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K$ .

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.2.1.1.1

Fatore $3$ de $3^{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + K = 7$

Etapa 4.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + K = 7$

Etapa 4.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$3^{2} - 1 \cdot 3 + K = 7$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$9 - 1 \cdot 3 + K = 7$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$9 - 3 + K = 7$

Etapa 4.2.2

Subtraia $3$ de $9$ .

$6 + K = 7$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$K = 7 - 6$

Etapa 4.3.2

Subtraia $6$ de $7$ .

$K = 1$

Etapa 5

Substitua $1$ por $K$ em $y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $1$ por $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} - x + 1$

Etapa 5.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} - x + 1$