Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{4 x - 1}}{y^{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{\sqrt{4 x - 1}}{y^{2}}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{\sqrt{4 x - 1}}{y^{2}}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \sqrt{4 x - 1}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$y^{2} d y = \sqrt{4 x - 1} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y^{2} d y = \int \sqrt{4 x - 1} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \sqrt{4 x - 1} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = 4 x - 1$ . Depois, $d u = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = 4 x - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $4 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Etapa 2.3.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 2.3.1.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.1.1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 + 0$

Etapa 2.3.1.1.4.2

Some $4$ e $0$ .

$4$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

Etapa 2.3.2

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \sqrt{u} d u$

Etapa 2.3.4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Reescreva $\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ como $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.6.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.2.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{4 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.6.2.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{12} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.6.2.3

Cancele o fator comum de $2$ e $12$ .

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Etapa 2.3.6.2.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 (1)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.6.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.6.2.3.2.1

Fatore $2$ de $12$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.6.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.6.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x - 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{6} {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{6} {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + K$