Cálculo Exemplos

$2 y d x + e^{- 3 x} d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $2 y d x$ dos dois lados da equação.

$e^{- 3 x} d y = - 2 y d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{e^{- 3 x} y}$ .

$\frac{1}{e^{- 3 x} y} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $e^{- 3 x}$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $e^{- 3 x}$ de $e^{- 3 x} y$ .

$\frac{1}{e^{- 3 x} (y)} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{e^{- 3 x} y} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{e^{- 3 x} y} y d x$

Etapa 3.3

Combine $- 2$ e $\frac{1}{e^{- 3 x} y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{e^{- 3 x} y} y d x$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $y$ de $e^{- 3 x} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y e^{- 3 x}} y d x$

Etapa 3.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y e^{- 3 x}} y d x$

Etapa 3.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{e^{- 3 x}} d x$

Etapa 3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Etapa 4.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Etapa 4.3.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{e^{- 3 x}} d x)$

Etapa 4.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.3.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{e^{- 3 x}} d x$

Etapa 4.3.3.2

Negative o expoente de $e^{- 3 x}$ e o mova para fora do denominador.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 {(e^{- 3 x})}^{- 1} d x$

Etapa 4.3.3.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.3.3.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{- 3 x})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.3.3.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 e^{- 3 x \cdot - 1} d x$

Etapa 4.3.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 e^{3 x} d x$

Etapa 4.3.3.3.2

Multiplique $e^{3 x}$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int e^{3 x} d x$

Etapa 4.3.4

Deixe $u = 3 x$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.3.4.1

Deixe $u = 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.3.4.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 4.3.4.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 4.3.4.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Etapa 4.3.5

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Etapa 4.3.6

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Etapa 4.3.7

Simplifique.

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Etapa 4.3.7.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{3} \int e^{u} d u$

Etapa 4.3.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} \int e^{u} d u$

Etapa 4.3.8

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} (e^{u} + C_{2})$

Etapa 4.3.9

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} e^{u} + C_{2}$

Etapa 4.3.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{2}{3} e^{3 x} + C}$

Etapa 5.2

Reescreva $\ln (| y |) = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{2}{3} e^{3 x} + C} = | y |$

Etapa 5.3

Resolva $y$ .

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Etapa 5.3.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{- \frac{2}{3} \cdot e^{3 x} + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{2}{3} \cdot e^{3 x} + C}$

Etapa 5.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.2.1

Combine $e^{3 x}$ e $\frac{2}{3}$ .

$| y | = e^{- \frac{e^{3 x} \cdot 2}{3} + C}$

Etapa 5.3.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$| y | = e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$

Etapa 5.3.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$

Etapa 6

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 6.1

Reescreva $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$ como $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}} e^{C}$

Etapa 6.2

Reordene $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$

Etapa 6.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$