Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} - x y^{3} = 0$ ; ; , $y (2) = 4$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some $x y^{3}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} = x y^{3}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (x y^{3})$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Fatore $y^{3}$ de $x y^{3}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} x)$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} x)$

Etapa 1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = x$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{3}} d y = x d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int x d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Mova $y^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int x d x$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int x d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int x d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 3}$ com relação a $y$ é $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int x d x$

Etapa 2.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Reescreva $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ como $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{y^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int x d x$

Etapa 2.2.3.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$2 y^{2}, 2, 1$

Etapa 3.2.2

Como $2 y^{2}, 2, 1$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $2 y^{2}, 2, 1$ 1) e, depois, o da parte variável $2 y^{2}, 2, 1$ .

Etapa 3.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 3.2.4

Como $2$ não tem fatores além de $1$ e $2$ .

$2$ é um número primo

Etapa 3.2.5

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 3.2.6

O MMC de $2, 2, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$2$

Etapa 3.2.7

Os fatores para $y^{2}$ são $y \cdot y$ , que é $y$ multiplicado um pelo outro $2$ vezes.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ ocorre $2$ vezes.

Etapa 3.2.8

O MMC de $y^{2}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$y \cdot y$

Etapa 3.2.9

Multiplique $y$ por $y$ .

$y^{2}$

Etapa 3.2.10

O MMC de $2 y^{2}, 2, 1$ é a parte numérica $2$ multiplicada pela parte variável.

$2 y^{2}$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$ por $2 y^{2}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$ por $2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2 y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2 y^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Etapa 3.3.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Etapa 3.3.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 1 = 2 \frac{x^{2}}{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Etapa 3.3.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$- 1 = 2 \frac{x^{2}}{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Etapa 3.3.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$- 1 = x^{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Etapa 3.3.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 1 = x^{2} y^{2} + 2 K y^{2}$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $x^{2} y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$ .

$x^{2} y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

Etapa 3.4.2

Fatore $y^{2}$ de $x^{2} y^{2} + 2 K y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Fatore $y^{2}$ de $x^{2} y^{2}$ .

$y^{2} x^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

Etapa 3.4.2.2

Fatore $y^{2}$ de $2 K y^{2}$ .

$y^{2} x^{2} + y^{2} (2 K) = - 1$

Etapa 3.4.2.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} x^{2} + y^{2} (2 K)$ .

$y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$

Etapa 3.4.3

Divida cada termo em $y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$ por $x^{2} + 2 K$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Divida cada termo em $y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$ por $x^{2} + 2 K$ .

$\frac{y^{2} (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + 2 K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4.3.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = - \frac{1}{x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Etapa 3.4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Etapa 3.4.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Etapa 3.4.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + K}}$

Etapa 5

Como $y$ é positivo na condição inicial $(2, 4)$ , considere apenas $y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + K}}$ para encontrar $K$ . Substitua $2$ por $x$ e $4$ por $y$ .

$4 = \sqrt{- \frac{1}{2^{2} + K}}$

Etapa 6

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\sqrt{- \frac{1}{2^{2} + K}} = 4$ .

$\sqrt{- \frac{1}{2^{2} + K}} = 4$

Etapa 6.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{- \frac{1}{2^{2} + K}}}^{2} = 4^{2}$

Etapa 6.3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{- \frac{1}{2^{2} + K}}$ como ${(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Simplifique ${({(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Etapa 6.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Etapa 6.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{1} = 4^{2}$

Etapa 6.3.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

${(- \frac{1}{4 + K})}^{1} = 4^{2}$

Etapa 6.3.2.1.3

Simplifique.

$- \frac{1}{4 + K} = 4^{2}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$- \frac{1}{4 + K} = 16$

Etapa 6.4

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$4 + K, 1$

Etapa 6.4.1.2

Remova os parênteses.

$4 + K, 1$

Etapa 6.4.1.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$4 + K$

Etapa 6.4.2

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{4 + K} = 16$ por $4 + K$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{4 + K} = 16$ por $4 + K$ .

$- \frac{1}{4 + K} (4 + K) = 16 (4 + K)$

Etapa 6.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $4 + K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{4 + K}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{4 + K} (4 + K) = 16 (4 + K)$

Etapa 6.4.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{4 + K} (4 + K) = 16 (4 + K)$

Etapa 6.4.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = 16 (4 + K)$

Etapa 6.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 = 16 \cdot 4 + 16 K$

Etapa 6.4.2.3.2

Multiplique $16$ por $4$ .

$- 1 = 64 + 16 K$

Etapa 6.4.3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.1

Reescreva a equação como $64 + 16 K = - 1$ .

$64 + 16 K = - 1$

Etapa 6.4.3.2

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.2.1

Subtraia $64$ dos dois lados da equação.

$16 K = - 1 - 64$

Etapa 6.4.3.2.2

Subtraia $64$ de $- 1$ .

$16 K = - 65$

Etapa 6.4.3.3

Divida cada termo em $16 K = - 65$ por $16$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.3.1

Divida cada termo em $16 K = - 65$ por $16$ .

$\frac{16 K}{16} = \frac{- 65}{16}$

Etapa 6.4.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{16 K}{16} = \frac{- 65}{16}$

Etapa 6.4.3.3.2.1.2

Divida $K$ por $1$ .

$K = \frac{- 65}{16}$

Etapa 6.4.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$K = - \frac{65}{16}$

Etapa 7

Substitua $- \frac{65}{16}$ por $K$ em $y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + K}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua $- \frac{65}{16}$ por $K$ .

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} - \frac{65}{16}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Para escrever $x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{16}{16}$ .

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} \cdot \frac{16}{16} - \frac{65}{16}}}$

Etapa 7.2.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{16}{16}$ .

$y = \sqrt{- \frac{1}{\frac{x^{2} \cdot 16}{16} - \frac{65}{16}}}$

Etapa 7.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \sqrt{- \frac{1}{\frac{x^{2} \cdot 16 - 65}{16}}}$

Etapa 7.2.4

Mova $16$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$y = \sqrt{- \frac{1}{\frac{16 x^{2} - 65}{16}}}$

Etapa 7.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \sqrt{- (1 \frac{16}{16 x^{2} - 65})}$

Etapa 7.4

Multiplique $\frac{16}{16 x^{2} - 65}$ por $1$ .

$y = \sqrt{- \frac{16}{16 x^{2} - 65}}$