Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 3}{x}$ quando $y (3) = 3$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y + 3}$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} \cdot \frac{y + 3}{x}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y + 3$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} \cdot \frac{y + 3}{x}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y + 3} d y = \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y + 3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = y + 3$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = y + 3$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 3$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Etapa 2.2.1.1.4

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y + 3$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y + 3 |) = \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y + 3 |) - \ln (| x |) = C$

Etapa 3.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 3 |}{| x |}) = C$

Etapa 3.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y + 3 |}{| x |})} = e^{C}$

Etapa 3.4

Reescreva $\ln (\frac{| y + 3 |}{| x |}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y + 3 |}{| x |}$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $\frac{| y + 3 |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| y + 3 |}{| x |} = e^{C}$

Etapa 3.5.2

Multiplique os dois lados por $| x |$ .

$\frac{| y + 3 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Etapa 3.5.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.3.1

Cancele o fator comum de $| x |$ .

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Etapa 3.5.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y + 3 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Etapa 3.5.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| y + 3 | = e^{C} | x |$

Etapa 3.5.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.4.1

Reordene os fatores em $e^{C} | x |$ .

$| y + 3 | = | x | e^{C}$

Etapa 3.5.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y + 3 = \pm | x | e^{C}$

Etapa 3.5.4.3

Reordene os fatores em $\pm | x | e^{C}$ .

$y + 3 = \pm e^{C} | x |$

Etapa 3.5.4.4

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$y = \pm e^{C} | x | - 3$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm C | x | - 3$

Etapa 4.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C | x | - 3$

Etapa 5

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $3$ por $x$ e $3$ por $y$ em $y = C | x | - 3$ .

$3 = C | 3 | - 3$

Etapa 6

Resolva $C$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $C | 3 | - 3 = 3$ .

$C | 3 | - 3 = 3$

Etapa 6.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$C \cdot 3 - 3 = 3$

Etapa 6.2.2

Mova $3$ para a esquerda de $C$ .

$3 C - 3 = 3$

Etapa 6.3

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.3.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$3 C = 3 + 3$

Etapa 6.3.2

Some $3$ e $3$ .

$3 C = 6$

Etapa 6.4

Divida cada termo em $3 C = 6$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 6.4.1

Divida cada termo em $3 C = 6$ por $3$ .

$\frac{3 C}{3} = \frac{6}{3}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 C}{3} = \frac{6}{3}$

Etapa 6.4.2.1.2

Divida $C$ por $1$ .

$C = \frac{6}{3}$

Etapa 6.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.4.3.1

Divida $6$ por $3$ .

$C = 2$

Etapa 7

Substitua $2$ por $C$ em $y = C | x | - 3$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Substitua $2$ por $C$ .

$y = 2 | x | - 3$