Cálculo Exemplos

$x^{2} \frac{d y}{d x} = 2 x y + 6$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $2 x y$ dos dois lados da equação.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 2 x y = 6$

Etapa 1.2

Divida cada termo em $x^{2} \frac{d y}{d x} - 2 x y = 6$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2}} = \frac{6}{x^{2}}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2}} = \frac{6}{x^{2}}$

Etapa 1.3.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 x y}{x^{2}} = \frac{6}{x^{2}}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $x$ de $- 2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 y)}{x^{2}} = \frac{6}{x^{2}}$

Etapa 1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 y)}{x \cdot x} = \frac{6}{x^{2}}$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 y)}{x \cdot x} = \frac{6}{x^{2}}$

Etapa 1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{6}{x^{2}}$

Etapa 1.5

Fatore $y$ de $\frac{- 2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = \frac{6}{x^{2}}$

Etapa 1.6

Reordene $y$ e $\frac{- 2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = \frac{6}{x^{2}}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{- 2}{x}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{- 2}{x} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{- 2}{x}$ .

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Etapa 2.2.1

Divida a fração em diversas frações.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Etapa 2.2.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Etapa 2.2.3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 2.2.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.5

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{- 2}$

Etapa 2.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{x^{2}}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Etapa 3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Etapa 3.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Etapa 3.2.4

Combine $\frac{2}{x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Etapa 3.2.5

Multiplique $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

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Etapa 3.2.5.1

Multiplique $\frac{2 y}{x}$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Etapa 3.2.5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.5.2.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.2.5.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Etapa 3.2.5.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Etapa 3.2.5.2.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Etapa 3.3

Combine.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1 \cdot 6}{x^{2} x^{2}}$

Etapa 3.4

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1 \cdot 6}{x^{2 + 2}}$

Etapa 3.4.2

Some $2$ e $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1 \cdot 6}{x^{4}}$

Etapa 3.5

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{6}{x^{4}}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = \frac{6}{x^{4}}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int \frac{6}{x^{4}} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{6}{x^{4}} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Etapa 7.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 7.2.1

Mova $x^{4}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Etapa 7.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Etapa 7.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Etapa 7.2.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 \int x^{- 4} d x$

Etapa 7.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 4}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Etapa 7.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.4.1

Simplifique.

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Etapa 7.4.1.1

Combine $x^{- 3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Etapa 7.4.1.2

Mova $x^{- 3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Etapa 7.4.2

Simplifique.

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

Etapa 7.4.3

Simplifique.

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Etapa 7.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - 6 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Etapa 7.4.3.2

Combine $- 6$ e $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{- 6}{3 x^{3}} + C$

Etapa 7.4.3.3

Cancele o fator comum de $- 6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.3.3.1

Fatore $3$ de $- 6$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{3}} + C$

Etapa 7.4.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.3.3.2.1

Fatore $3$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{3 \cdot - 2}{3 (x^{3})} + C$

Etapa 7.4.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{3}} + C$

Etapa 7.4.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{- 2}{x^{3}} + C$

Etapa 7.4.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{x^{2}} y = - \frac{2}{x^{3}} + C$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Some $\frac{2}{x^{3}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{2}{x^{3}} = C$

Etapa 8.1.2

Subtraia $C$ dos dois lados da equação.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{2}{x^{3}} - C = 0$

Etapa 8.1.3

Combine $\frac{1}{x^{2}}$ e $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}} - C = 0$

Etapa 8.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Subtraia $\frac{2}{x^{3}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{y}{x^{2}} - C = - \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 8.2.2

Some $C$ aos dois lados da equação.

$\frac{y}{x^{2}} = - \frac{2}{x^{3}} + C$

Etapa 8.3

Multiplique os dois lados por $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- \frac{2}{x^{3}} + C) x^{2}$

Etapa 8.4

Simplifique.

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Etapa 8.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- \frac{2}{x^{3}} + C) x^{2}$

Etapa 8.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = (- \frac{2}{x^{3}} + C) x^{2}$

Etapa 8.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.4.2.1

Simplifique $(- \frac{2}{x^{3}} + C) x^{2}$ .

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Etapa 8.4.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \frac{2}{x^{3}} x^{2} + C x^{2}$

Etapa 8.4.2.1.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{x^{3}}$ para o numerador.

$y = \frac{- 2}{x^{3}} x^{2} + C x^{2}$

Etapa 8.4.2.1.2.2

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$y = \frac{- 2}{x^{2} x} x^{2} + C x^{2}$

Etapa 8.4.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$y = \frac{- 2}{x^{2} x} x^{2} + C x^{2}$

Etapa 8.4.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$y = \frac{- 2}{x} + C x^{2}$

Etapa 8.4.2.1.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{2}{x} + C x^{2}$

Etapa 8.4.2.1.3.2

Reordene $- \frac{2}{x}$ e $C x^{2}$ .

$y = C x^{2} - \frac{2}{x}$