Cálculo Exemplos

$x e^{- t} \frac{d x}{d y} = t$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$x e^{- t} d x = t d y$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int x e^{- t} d x = \int t d y$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Como $e^{- t}$ é constante com relação a $x$ , mova $e^{- t}$ para fora da integral.

$e^{- t} \int x d x = \int t d y$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- t} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1}) = \int t d y$

Etapa 2.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.2.3.1

Reescreva $e^{- t} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1})$ como $e^{- t} \frac{1}{2} x^{2} + C_{1}$ .

$e^{- t} \frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t d y$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.3.2.1

Combine $e^{- t}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{- t}}{2} x^{2} + C_{1} = \int t d y$

Etapa 2.2.3.2.2

Combine $\frac{e^{- t}}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{e^{- t} x^{2}}{2} + C_{1} = \int t d y$

$\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} + C_{1} = \int t d y$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} + C_{1} = t y + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} = t y + K$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} = t y + K$ por $\frac{1}{2} e^{- t}$ e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} = t y + K$ por $\frac{1}{2} e^{- t}$ .

$\frac{\frac{1}{2} e^{- t} x^{2}}{\frac{1}{2} e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum de $\frac{1}{2}$ .

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Etapa 3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{1}{2} e^{- t} x^{2}}{\frac{1}{2} e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Etapa 3.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{- t} x^{2}}{e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Etapa 3.1.2.2

Cancele o fator comum de $e^{- t}$ .

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Etapa 3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- t} x^{2}}{e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Etapa 3.1.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{- t}$ .

$x^{2} = \frac{t y}{\frac{e^{- t}}{2}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Etapa 3.1.3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x^{2} = t y \frac{2}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Etapa 3.1.3.1.3

Multiplique $t y \frac{2}{e^{- t}}$ .

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Etapa 3.1.3.1.3.1

Combine $t$ e $\frac{2}{e^{- t}}$ .

$x^{2} = y \frac{t \cdot 2}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Etapa 3.1.3.1.3.2

Combine $y$ e $\frac{t \cdot 2}{e^{- t}}$ .

$x^{2} = \frac{y (t \cdot 2)}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Etapa 3.1.3.1.4

Mova $2$ para a esquerda de $y t$ .

$x^{2} = \frac{2 \cdot (y t)}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Etapa 3.1.3.1.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{- t}$ .

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{e^{- t}}{2}}$

Etapa 3.1.3.1.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + K \frac{2}{e^{- t}}$

Etapa 3.1.3.1.7

Combine $K$ e $\frac{2}{e^{- t}}$ .

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{K \cdot 2}{e^{- t}}$

Etapa 3.1.3.1.8

Mova $2$ para a esquerda de $K$ .

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{2 K}{e^{- t}}$

Etapa 3.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{2 K}{e^{- t}}}$

Etapa 3.3

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{2 K}{e^{- t}}}$ .

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Etapa 3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 y t + 2 K}{e^{- t}}}$

Etapa 3.3.2

Fatore $2$ de $2 y t + 2 K$ .

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Etapa 3.3.2.1

Fatore $2$ de $2 y t$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{2 (y t) + 2 K}{e^{- t}}}$

Etapa 3.3.2.2

Fatore $2$ de $2 K$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{2 (y t) + 2 K}{e^{- t}}}$

Etapa 3.3.2.3

Fatore $2$ de $2 (y t) + 2 K$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{2 (y t + K)}{e^{- t}}}$

Etapa 3.3.3

Reescreva $\sqrt{\frac{2 (y t + K)}{e^{- t}}}$ como $\frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$

Etapa 3.3.4

Multiplique $\frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$ por $\frac{\sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}} \cdot \frac{\sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}}}$

Etapa 3.3.5

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.3.5.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$ por $\frac{\sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}} \sqrt{e^{- t}}}$

Etapa 3.3.5.2

Eleve $\sqrt{e^{- t}}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{1} \sqrt{e^{- t}}}$

Etapa 3.3.5.3

Eleve $\sqrt{e^{- t}}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{1} {\sqrt{e^{- t}}}^{1}}$

Etapa 3.3.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.3.5.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{2}}$

Etapa 3.3.5.6

Reescreva ${\sqrt{e^{- t}}}^{2}$ como $e^{- t}$ .

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Etapa 3.3.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{e^{- t}}$ como $e^{\frac{- t}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{(e^{\frac{- t}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3.5.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{(e^{- \frac{t}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3.5.6.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{- \frac{t}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.3.5.6.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{- 2 \frac{t}{2}}}$

Etapa 3.3.5.6.5

Combine $- 2$ e $\frac{t}{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{- 2 t}{2}}}$

Etapa 3.3.5.6.6

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 3.3.5.6.6.1

Fatore $2$ de $- 2 t$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{2 (- t)}{2}}}$

Etapa 3.3.5.6.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.5.6.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{2 (- t)}{2 (1)}}}$

Etapa 3.3.5.6.6.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{2 (- t)}{2 \cdot 1}}}$

Etapa 3.3.5.6.6.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{- t}{1}}}$

Etapa 3.3.5.6.6.2.4

Divida $- t$ por $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{- t}}$

Etapa 3.3.6

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K) e^{- t}}}{e^{- t}}$

Etapa 3.3.7

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt{2 (y t + K) e^{- t}}}{e^{- t}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

Etapa 3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

Etapa 3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

Etapa 3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$