Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = x e^{x^{2} - y}$

Etapa 1

Deixe $v = e^{x^{2} - y}$ . Substitua $v$ em todas as ocorrências de $e^{x^{2} - y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x v$

Etapa 2

Encontre $\frac{d v}{d x}$ ao diferenciar $e^{x^{2} - y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2} - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2} - y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} - y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2} - y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x^{2} - y} \frac{d}{d x} [x^{2} - y]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x^{2} - y} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x^{2} - y} (2 x + \frac{d}{d x} [- y])$

Etapa 2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x^{2} - y} (2 x - \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x^{2} - y} (2 x - y')$

Etapa 3

Substitua $v$ por $e^{x^{2} - y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (2 x - y')$

Etapa 4

Substitua a derivada na equação diferencial.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 2 x = x v$

Etapa 5

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Resolva $\frac{d v}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = x v - 2 x$

Etapa 5.1.2

Divida cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = x v - 2 x$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Divida cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = x v - 2 x$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{- 1} = \frac{x v}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1}$

Etapa 5.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{1} = \frac{x v}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1}$

Etapa 5.1.2.2.2

Divida $\frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ por $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = \frac{x v}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1}$

Etapa 5.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{x v}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 1 \cdot (x v) + \frac{- 2 x}{- 1}$

Etapa 5.1.2.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (x v)$ como $- (x v)$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - (x v) + \frac{- 2 x}{- 1}$

Etapa 5.1.2.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{- 2 x}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - x v - 1 \cdot (- 2 x)$

Etapa 5.1.2.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot (- 2 x)$ como $- (- 2 x)$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - x v - (- 2 x)$

Etapa 5.1.2.3.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - x v + 2 x$

Etapa 5.1.3

Multiplique os dois lados por $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (- x v + 2 x) v$

Etapa 5.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1.1

Cancele o fator comum de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (- x v + 2 x) v$

Etapa 5.1.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} = (- x v + 2 x) v$

Etapa 5.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.2.1

Simplifique $(- x v + 2 x) v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d v}{d x} = - x v \cdot v + 2 x v$

Etapa 5.1.4.2.1.2

Multiplique $v$ por $v$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.2.1.2.1

Mova $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - x (v \cdot v) + 2 x v$

Etapa 5.1.4.2.1.2.2

Multiplique $v$ por $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - x v^{2} + 2 x v$

Etapa 5.1.4.2.1.3

Mova $x$ .

$\frac{d v}{d x} = - 1 v^{2} x + 2 x v$

Etapa 5.1.4.2.1.4

Mova $x$ .

$\frac{d v}{d x} = - 1 v^{2} x + 2 v x$

Etapa 5.1.5

Reescreva $- 1 v^{2}$ como $- v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = - v^{2} x + 2 v x$

Etapa 5.2

Fatore $v x$ de $- v^{2} x + 2 v x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $v x$ de $- v^{2} x$ .

$\frac{d v}{d x} = v x (- v) + 2 v x$

Etapa 5.2.2

Fatore $v x$ de $2 v x$ .

$\frac{d v}{d x} = v x (- v) + v x (2)$

Etapa 5.2.3

Fatore $v x$ de $v x (- v) + v x (2)$ .

$\frac{d v}{d x} = v x (- v + 2)$

Etapa 5.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{v (- v + 2)}$ .

$\frac{1}{v (- v + 2)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- v + 2)} (v x (- v + 2))$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $v (- v + 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Fatore $v (- v + 2)$ de $v x (- v + 2)$ .

$\frac{1}{v (- v + 2)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- v + 2)} (v (- v + 2) (x))$

Etapa 5.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{v (- v + 2)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- v + 2)} (v (- v + 2) x)$

Etapa 5.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{v (- v + 2)} \frac{d v}{d x} = x$

Etapa 5.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{v (- v + 2)} d v = x d x$

Etapa 6

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{v (- v + 2)} d v = \int x d x$

Etapa 6.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 6.2.1.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{- v + 2}$

Etapa 6.2.1.1.2

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $v (- v + 2)$ .

$\frac{1 (v (- v + 2))}{v (- v + 2)} = \frac{A (v (- v + 2))}{v} + \frac{B (v (- v + 2))}{- v + 2}$

Etapa 6.2.1.1.3

Cancele o fator comum de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (v (- v + 2))}{v (- v + 2)} = \frac{A (v (- v + 2))}{v} + \frac{B (v (- v + 2))}{- v + 2}$

Etapa 6.2.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (- v + 2)}{- v + 2} = \frac{A (v (- v + 2))}{v} + \frac{B (v (- v + 2))}{- v + 2}$

Etapa 6.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $- v + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (- v + 2)}{- v + 2} = \frac{A (v (- v + 2))}{v} + \frac{B (v (- v + 2))}{- v + 2}$

Etapa 6.2.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (v (- v + 2))}{v} + \frac{B (v (- v + 2))}{- v + 2}$

Etapa 6.2.1.1.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.5.1

Cancele o fator comum de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (v (- v + 2))}{v} + \frac{B (v (- v + 2))}{- v + 2}$

Etapa 6.2.1.1.5.1.2

Divida $A (- v + 2)$ por $1$ .

$1 = A (- v + 2) + \frac{B (v (- v + 2))}{- v + 2}$

Etapa 6.2.1.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A (- v) + A \cdot 2 + \frac{B (v (- v + 2))}{- v + 2}$

Etapa 6.2.1.1.5.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = - A v + A \cdot 2 + \frac{B (v (- v + 2))}{- v + 2}$

Etapa 6.2.1.1.5.4

Mova $2$ para a esquerda de $A$ .

$1 = - A v + 2 A + \frac{B (v (- v + 2))}{- v + 2}$

Etapa 6.2.1.1.5.5

Divida $B v$ por $1$ .

$1 = - A v + 2 A + B v$

Etapa 6.2.1.1.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.6.1

Mova $A$ .

$1 = - v A + 2 A + B v$

Etapa 6.2.1.1.6.2

Reordene $B$ e $v$ .

$1 = - v A + 2 A + B v$

Etapa 6.2.1.1.6.3

Mova $2 A$ .

$1 = - v A + B v + 2 A$

Etapa 6.2.1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 6.2.1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $v$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = - 1 A + B$

Etapa 6.2.1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $v$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = 2 A$

Etapa 6.2.1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = - 1 A + B$

$1 = 2 A$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 2 A$

Etapa 6.2.1.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.1

Resolva $A$ em $1 = 2 A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.1.1

Reescreva a equação como $2 A = 1$ .

$2 A = 1$

$0 = - 1 A + B$

Etapa 6.2.1.3.1.2

Divida cada termo em $2 A = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.1.2.1

Divida cada termo em $2 A = 1$ por $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

Etapa 6.2.1.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

Etapa 6.2.1.3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

Etapa 6.2.1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $\frac{1}{2}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = - 1 A + B$ por $\frac{1}{2}$ .

$0 = - 1 (\frac{1}{2}) + B$

$A = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.2.2.1

Reescreva $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$0 = - \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.1.3.3

Resolva $B$ em $0 = - \frac{1}{2} + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.3.1

Reescreva a equação como $- \frac{1}{2} + B = 0$ .

$- \frac{1}{2} + B = 0$

$A = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.1.3.3.2

Some $\frac{1}{2}$ aos dois lados da equação.

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.1.3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = \frac{1}{2} A = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.1.3.5

Liste todas as soluções.

$B = \frac{1}{2}, A = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{v} + \frac{B}{- v + 2}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{v} + \frac{\frac{1}{2}}{- v + 2}$

Etapa 6.2.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{v} + \frac{\frac{1}{2}}{- v + 2}$

Etapa 6.2.1.5.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{2 v} + \frac{\frac{1}{2}}{- v + 2}$

Etapa 6.2.1.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{2 v} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- v + 2}$

Etapa 6.2.1.5.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{- v + 2}$ .

$\frac{1}{2 v} + \frac{1}{2 (- v + 2)}$

Etapa 6.2.1.5.5

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{1}{2 v} + \frac{1}{2 (- v - 1 \cdot - 2)}$

Etapa 6.2.1.5.6

Fatore $- 1$ de $- v - 1 (- 2)$ .

$\frac{1}{2 v} + \frac{1}{2 (- (v - 2))}$

Etapa 6.2.1.5.7

Reescreva os negativos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.5.7.1

Reescreva $- (v - 2)$ como $- 1 (v - 2)$ .

$\frac{1}{2 v} + \frac{1}{2 (- 1 (v - 2))}$

Etapa 6.2.1.5.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{2 v} - \frac{1}{2 (v - 2)} d v = \int x d x$

Etapa 6.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{2 v} d v + \int - \frac{1}{2 (v - 2)} d v = \int x d x$

Etapa 6.2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $v$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{v} d v + \int - \frac{1}{2 (v - 2)} d v = \int x d x$

Etapa 6.2.4

A integral de $\frac{1}{v}$ com relação a $v$ é $\ln (| v |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) + \int - \frac{1}{2 (v - 2)} d v = \int x d x$

Etapa 6.2.5

Como $- 1$ é constante com relação a $v$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \int \frac{1}{2 (v - 2)} d v = \int x d x$

Etapa 6.2.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $v$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{v - 2} d v) = \int x d x$

Etapa 6.2.7

Deixe $u_{2} = v - 2$ . Depois, $d u_{2} = d v$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.7.1

Deixe $u_{2} = v - 2$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.7.1.1

Diferencie $v - 2$ .

$\frac{d}{d v} [v - 2]$

Etapa 6.2.7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $v - 2$ com relação a $v$ é $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 2]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 2]$

Etapa 6.2.7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [- 2]$

Etapa 6.2.7.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $- 2$ em relação a $v$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 6.2.7.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 6.2.7.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

Etapa 6.2.8

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int x d x$

Etapa 6.2.9

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| v |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int x d x$

Etapa 6.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| v |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 6.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| v |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 7

Resolva $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique as expressões na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| v |)$ .

$\frac{\ln (| v |)}{2} - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 7.1.1.1.2

Combine $\ln (| u_{2} |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (| v |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 7.1.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\ln (| v |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} = \frac{x^{2}}{2} + C$

Etapa 7.2

Multiplique cada termo em $\frac{\ln (| v |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} = \frac{x^{2}}{2} + C$ por $2$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{\ln (| v |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} = \frac{x^{2}}{2} + C$ por $2$ .

$\frac{\ln (| v |)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} \cdot 2 = \frac{x^{2}}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (| v |)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} \cdot 2 = \frac{x^{2}}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 7.2.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| v |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} \cdot 2 = \frac{x^{2}}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 7.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\ln (| u_{2} |)}{2}$ para o numerador.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{2} \cdot 2 = \frac{x^{2}}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 7.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{2} \cdot 2 = \frac{x^{2}}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 7.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = \frac{x^{2}}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 7.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = \frac{x^{2}}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 7.2.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = x^{2} + C \cdot 2$

Etapa 7.2.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $C$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = x^{2} + 2 C$

Etapa 7.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = x^{2} + 2 C$

Etapa 7.4

Para resolver $v$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |})} = e^{x^{2} + 2 C}$

Etapa 7.5

Reescreva $\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = x^{2} + 2 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + 2 C} = \frac{| v |}{| u_{2} |}$

Etapa 7.6

Resolva $v$ .

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Etapa 7.6.1

Reescreva a equação como $\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{x^{2} + 2 C}$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{x^{2} + 2 C}$

Etapa 7.6.2

Multiplique os dois lados por $| u_{2} |$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{x^{2} + 2 C} | u_{2} |$

Etapa 7.6.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.6.3.1

Cancele o fator comum de $| u_{2} |$ .

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Etapa 7.6.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{x^{2} + 2 C} | u_{2} |$

Etapa 7.6.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| v | = e^{x^{2} + 2 C} | u_{2} |$

Etapa 7.6.4

Resolva $v$ .

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Etapa 7.6.4.1

Reordene os fatores em $e^{x^{2} + 2 C} | u_{2} |$ .

$| v | = | u_{2} | e^{x^{2} + 2 C}$

Etapa 7.6.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$v = \pm | u_{2} | e^{x^{2} + 2 C}$

Etapa 8

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 8.1

Simplifique a constante de integração.

$v = \pm | u_{2} | e^{x^{2} + C}$

Etapa 8.2

Reescreva $e^{x^{2} + C}$ como $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{x^{2}} e^{C})$

Etapa 8.3

Reordene $e^{x^{2}}$ e $e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{C} e^{x^{2}})$

Etapa 8.4

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$v = C | u_{2} | e^{x^{2}}$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $e^{x^{2} - y}$ .

$e^{x^{2} - y} = C | u_{2} | e^{x^{2}}$

Etapa 10

Resolva $y$ .

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Etapa 10.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x^{2} - y}) = \ln (C | u_{2} | e^{x^{2}})$

Etapa 10.2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.1

Expanda $\ln (e^{x^{2} - y})$ movendo $x^{2} - y$ para fora do logaritmo.

$(x^{2} - y) \ln (e) = \ln (C | u_{2} | e^{x^{2}})$

Etapa 10.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(x^{2} - y) \cdot 1 = \ln (C | u_{2} | e^{x^{2}})$

Etapa 10.2.3

Multiplique $x^{2} - y$ por $1$ .

$x^{2} - y = \ln (C | u_{2} | e^{x^{2}})$

Etapa 10.3

Expanda o lado direito.

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Etapa 10.3.1

Reescreva $\ln (C | u_{2} | e^{x^{2}})$ como $\ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{x^{2}})$ .

$x^{2} - y = \ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{x^{2}})$

Etapa 10.3.2

Reescreva $\ln (C | u_{2} |)$ como $\ln (C) + \ln (| u_{2} |)$ .

$x^{2} - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + \ln (e^{x^{2}})$

Etapa 10.3.3

Expanda $\ln (e^{x^{2}})$ movendo $x^{2}$ para fora do logaritmo.

$x^{2} - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x^{2} \ln (e)$

Etapa 10.3.4

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x^{2} - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x^{2} \cdot 1$

Etapa 10.3.5

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x^{2}$

Etapa 10.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.4.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x^{2} - y = \ln (C | u_{2} |) + x^{2}$

Etapa 10.5

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 10.5.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$- y = \ln (C | u_{2} |) + x^{2} - x^{2}$

Etapa 10.5.2

Combine os termos opostos em $\ln (C | u_{2} |) + x^{2} - x^{2}$ .

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Etapa 10.5.2.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- y = \ln (C | u_{2} |) + 0$

Etapa 10.5.2.2

Some $\ln (C | u_{2} |)$ e $0$ .

$- y = \ln (C | u_{2} |)$

Etapa 10.6

Divida cada termo em $- y = \ln (C | u_{2} |)$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 10.6.1

Divida cada termo em $- y = \ln (C | u_{2} |)$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$

Etapa 10.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.6.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$

Etapa 10.6.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$

Etapa 10.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.6.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (C | u_{2} |)$

Etapa 10.6.3.2

Reescreva $- 1 \cdot \ln (C | u_{2} |)$ como $- \ln (C | u_{2} |)$ .

$y = - \ln (C | u_{2} |)$