Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + y$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + y$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + y$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{y}}{x} + \frac{y}{x}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{y}}{x} + \frac{y}{x}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{y}}{x} + \frac{y}{x}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x} + \frac{y}{x}$

Etapa 1.1.3.1.2

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y x} + \frac{y}{x}$

Etapa 1.2

Fatore.

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Etapa 1.2.1

Para escrever $\frac{y}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{y}$

Etapa 1.2.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $y x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.2.2.1

Multiplique $\frac{y}{x}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y x} + \frac{y \cdot y}{x y}$

Etapa 1.2.2.2

Reordene os fatores de $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y \cdot y}{x y}$

Etapa 1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y \cdot y}{x y}$

Etapa 1.2.4

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{x y}$

Etapa 1.3

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 1.4

Multiplique os dois lados por $\frac{y}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} (\frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $\frac{1 + y^{2}}{y}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y x}$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.5.2.1

Fatore $y$ de $y x$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y (x)}$

Etapa 1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y x}$

Etapa 1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

Etapa 1.5.3

Cancele o fator comum de $1 + y^{2}$ .

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Etapa 1.5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

Etapa 1.5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 1.6

Reescreva a equação.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = 1 + y^{2}$ . Depois, $d u = 2 y d y$ , então, $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = 1 + y^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.2.1.1.3

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $0$ e $2 y$ .

$2 y$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

Etapa 3.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

Etapa 3.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1

Simplifique $\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| x |)$ .

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Etapa 3.4.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.1.1.1

Simplifique $- 2 \ln (| x |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

Etapa 3.4.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

Etapa 3.4.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$

Etapa 3.5

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}})} = e^{2 C}$

Etapa 3.6

Reescreva $\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}$

Etapa 3.7

Resolva $y$ .

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Etapa 3.7.1

Reescreva a equação como $\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$

Etapa 3.7.2

Multiplique os dois lados por $x^{2}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Etapa 3.7.3

Simplifique.

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Etapa 3.7.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.7.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 3.7.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Etapa 3.7.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} x^{2}$

Etapa 3.7.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.7.3.2.1

Reordene os fatores em $e^{2 C} x^{2}$ .

$| 1 + y^{2} | = x^{2} e^{2 C}$

Etapa 3.7.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.7.4.1

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm x^{2} e^{2 C}$

Etapa 3.7.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y^{2} = \pm x^{2} e^{2 C} - 1$

Etapa 3.7.4.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{2 C} - 1}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} C - 1}$

Etapa 4.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$