Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - x y$

Etapa 1

Some $x y$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} + x y = x^{3}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = x$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int x d x}$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

Etapa 2.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{3}$

Etapa 3.2

Reordene os fatores em $e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + x y e^{\frac{x^{2}}{2}} = x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] = x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Deixe $u = \frac{x^{2}}{2}$ . Depois, $d u = x d x$ , então, $\frac{1}{x} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1.1

Deixe $u = \frac{x^{2}}{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1.1

Diferencie $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Etapa 7.1.1.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 7.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x)$

Etapa 7.1.1.4

Simplifique os termos.

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Etapa 7.1.1.4.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x$

Etapa 7.1.1.4.2

Combine $\frac{2}{2}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2}$

Etapa 7.1.1.4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.1.1.4.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2}$

Etapa 7.1.1.4.3.2

Divida $x$ por $1$ .

$x$

Etapa 7.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {\sqrt{2 u}}^{2} e^{u} d u$

Etapa 7.2

Reescreva ${\sqrt{2 u}}^{2}$ como $2 u$ .

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Etapa 7.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 u}$ como ${(2 u)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {({(2 u)}^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{u} d u$

Etapa 7.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{u} d u$

Etapa 7.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} d u$

Etapa 7.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.4.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} d u$

Etapa 7.2.4.2

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{1} e^{u} d u$

Etapa 7.2.5

Simplifique.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int 2 u e^{u} d u$

Etapa 7.3

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \int u e^{u} d u$

Etapa 7.4

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = u$ e $dv = e^{u}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Etapa 7.5

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Etapa 7.6

Simplifique.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u e^{u} - e^{u}) + C$

Etapa 7.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (\frac{x^{2}}{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} - e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

Etapa 7.8

Simplifique.

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Etapa 7.8.1

Combine $\frac{x^{2}}{2}$ e $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (\frac{x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} - e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

Etapa 7.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \frac{x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} + 2 (- e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

Etapa 7.8.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.8.3.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \frac{x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} + 2 (- e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

Etapa 7.8.3.2

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} + 2 (- e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

Etapa 7.8.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} - 2 e^{\frac{x^{2}}{2}} + C$

Etapa 7.9

Reordene os termos.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ por $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ por $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ e $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1.1

Fatore $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ de $x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ .

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

Etapa 8.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}}{1} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.3.1.1.2.4

Divida $x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}$ por $1$ .

$y = x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.3.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.2.1

Fatore $x^{2}$ de $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.2.1.1

Fatore $x^{2}$ de $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2$ .

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) - x^{2}}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.3.1.2.1.2

Fatore $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.3.1.2.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.3.1.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.3.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (1 - 1)}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.3.1.2.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.3.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $0$ .

$y = x^{2} e^{\frac{0}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.3.1.4

Divida $0$ por $2$ .

$y = x^{2} e^{0} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.3.1.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$y = x^{2} \cdot 1 + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.3.1.6

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$y = x^{2} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.3.1.7

Cancele o fator comum de $e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ e $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.7.1

Fatore $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ de $- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ .

$y = x^{2} + \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.3.1.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.7.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = x^{2} + \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.3.1.7.2.2

Cancele o fator comum.

$y = x^{2} + \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.3.1.7.2.3

Reescreva a expressão.

$y = x^{2} + \frac{- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.3.1.7.2.4

Divida $- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}$ por $1$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.3.1.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.8.1

Fatore $x^{2}$ de $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.8.1.1

Fatore $x^{2}$ de $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.3.1.8.1.2

Fatore $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.3.1.8.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.3.1.8.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.8.2.1

Cancele o fator comum.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.3.1.8.2.2

Reescreva a expressão.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (1 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.3.1.8.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.3.1.9

Multiplique $x^{2}$ por $0$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.3.1.10

Divida $0$ por $2$ .

$y = x^{2} - 2 e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.3.1.11

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$y = x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 8.3.1.12

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$y = x^{2} - 2 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$