Cálculo Exemplos

$\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d t} = 5 \cdot \frac{1}{t}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} \cdot d y = 5 \cdot \frac{1}{t} d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 5 \frac{1}{t} d t$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 5 \frac{1}{t} d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Combine $5$ e $\frac{1}{t}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{5}{t} d t$

Etapa 2.3.2

Como $5$ é constante com relação a $t$ , mova $5$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 \int \frac{1}{t} d t$

Etapa 2.3.3

A integral de $\frac{1}{t}$ com relação a $t$ é $\ln (| t |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 (\ln (| t |) + C_{2})$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 \ln (| t |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = 5 \ln (| t |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) - 5 \ln (| t |) = C$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique $\ln (| y |) - 5 \ln (| t |)$ .

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $- 5 \ln (| t |)$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$\ln (| y |) - \ln ({| t |}^{5}) = C$

Etapa 3.2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| t |}^{5}}) = C$

Etapa 3.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{| t |}^{5}})} = e^{C}$

Etapa 3.4

Reescreva $\ln (\frac{| y |}{{| t |}^{5}}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{| t |}^{5}}$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $\frac{| y |}{{| t |}^{5}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{| t |}^{5}} = e^{C}$

Etapa 3.5.2

Multiplique os dois lados por ${| t |}^{5}$ .

$\frac{| y |}{{| t |}^{5}} {| t |}^{5} = e^{C} {| t |}^{5}$

Etapa 3.5.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.3.1

Cancele o fator comum de ${| t |}^{5}$ .

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Etapa 3.5.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y |}{{| t |}^{5}} {| t |}^{5} = e^{C} {| t |}^{5}$

Etapa 3.5.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| y | = e^{C} {| t |}^{5}$

Etapa 3.5.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.4.1

Reordene os fatores em $e^{C} {| t |}^{5}$ .

$| y | = {| t |}^{5} e^{C}$

Etapa 3.5.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm {| t |}^{5} e^{C}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm {| t |}^{5} C$

Etapa 4.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C {| t |}^{5}$