Cálculo Exemplos

$2 x \cdot \frac{d y}{d x} = x \cdot \sin (2 x)$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $2 x \cdot \frac{d y}{d x} = x \cdot \sin (2 x)$ por $2 x$ e simplifique.

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Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $2 x \cdot \frac{d y}{d x} = x \cdot \sin (2 x)$ por $2 x$ .

$\frac{2 x \cdot \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x \cdot \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Etapa 1.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Etapa 1.1.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Etapa 1.1.2.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Etapa 1.1.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (2 x)}{2}$

Etapa 1.2

Reescreva a equação.

$d y = \frac{\sin (2 x)}{2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{\sin (2 x)}{2} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{2} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sin (2 x) d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3.2.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.3.2.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.3.3

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u)$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u) d u$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \sin (u) d u$

Etapa 2.3.6

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (- \cos (u) + C_{2})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (- \cos (u)) + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $\cos (u)$ .

$y + C_{1} = - \frac{\cos (u)}{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$y + C_{1} = - \frac{\cos (2 x)}{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.9

Reordene os termos.

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} \cos (2 x) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = - \frac{1}{4} \cos (2 x) + K$