Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x + 1}{y - 3}$ ; , $y (0) = 4$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y - 3$ .

$(y - 3) \frac{d y}{d x} = (y - 3) \frac{2 x + 1}{y - 3}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$(y - 3) \frac{d y}{d x} = (y - 3) \frac{2 x + 1}{y - 3}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$(y - 3) \frac{d y}{d x} = 2 x + 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$(y - 3) d y = (2 x + 1) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y - 3 d y = \int 2 x + 1 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int y d y + \int - 3 d y = \int 2 x + 1 d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 3 d y = \int 2 x + 1 d x$

Etapa 2.2.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 3 y + C_{2} = \int 2 x + 1 d x$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int 2 x + 1 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int 2 x d x + \int d x$

Etapa 2.3.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 \int x d x + \int d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int d x$

Etapa 2.3.4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + x + C_{5}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + x + C_{5}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = x^{2} + x + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y = x^{2} + x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y = x^{2} + x + K$

Etapa 3.2

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - x^{2} = x + K$

Etapa 3.2.2

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - x^{2} - x = K$

Etapa 3.2.3

Subtraia $K$ dos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - x^{2} - x - K = 0$

Etapa 3.3

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $2$ . Depois, simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2

Simplifique.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} + 2 (- 3 y) + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$y^{2} - 6 y + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y^{2} - 6 y - 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y^{2} - 6 y - 2 x^{2} - 2 x + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y^{2} - 6 y - 2 x^{2} - 2 x - 2 K = 0$

Etapa 3.3.3

Mova $- 6 y$ .

$y^{2} - 2 x^{2} - 2 x - 2 K - 6 y = 0$

Etapa 3.3.4

Mova $- 2 x$ .

$y^{2} - 2 x^{2} - 2 K - 2 x - 6 y = 0$

Etapa 3.3.5

Reordene $y^{2}$ e $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + y^{2} - 2 K - 2 x - 6 y = 0$

Etapa 3.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.5

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 6$ e $c = - 2 x^{2} - 2 K - 2 x$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K - 2 x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (- 2 K) - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.4.1

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.4.2

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x^{2} + 8 K - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.4.3

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x^{2} + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.5

Fatore $4$ de $36 + 8 x^{2} + 8 K + 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.5.1

Fatore $4$ de $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 8 x^{2} + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.5.2

Fatore $4$ de $8 x^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (2 x^{2}) + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.5.3

Fatore $4$ de $8 K$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 K) + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.5.4

Fatore $4$ de $8 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.5.5

Fatore $4$ de $4 (9) + 4 (2 x^{2})$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 + 2 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.5.6

Fatore $4$ de $4 (9 + 2 x^{2}) + 4 (2 K)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 + 2 x^{2} + 2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.5.7

Fatore $4$ de $4 (9 + 2 x^{2} + 2 K) + 4 (2 x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.6

Reescreva $4 (9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)$ como $2^{2} (3^{2} + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.6.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.6.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (3^{2} + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3^{2} + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.8

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2}$

Etapa 3.6.3

Simplifique $\frac{6 \pm 2 \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

Etapa 3.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$

Etapa 5

Como $y$ é positivo na condição inicial $(0, 4)$ , considere apenas $y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$ para encontrar $K$ . Substitua $0$ por $x$ e $4$ por $y$ .

$4 = 3 + \sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}$

Etapa 6

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação como $3 + \sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 4$ .

$3 + \sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 4$

Etapa 6.2

Mova todos os termos que não contêm $\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 4 - 3$

Etapa 6.2.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 1$

Etapa 6.3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}}^{2} = 1^{2}$

Etapa 6.4

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}$ como ${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Simplifique ${({(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Etapa 6.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Etapa 6.4.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{1} = 1^{2}$

Etapa 6.4.2.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

${(9 + 2 \cdot 0 + K + 2 \cdot 0)}^{1} = 1^{2}$

Etapa 6.4.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $0$ .

${(9 + 0 + K + 2 \cdot 0)}^{1} = 1^{2}$

Etapa 6.4.2.1.2.3

Multiplique $2$ por $0$ .

${(9 + 0 + K + 0)}^{1} = 1^{2}$

Etapa 6.4.2.1.3

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.3.1

Combine os termos opostos em $9 + 0 + K + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.3.1.1

Some $9$ e $0$ .

${(9 + K + 0)}^{1} = 1^{2}$

Etapa 6.4.2.1.3.1.2

Some $9 + K$ e $0$ .

${(9 + K)}^{1} = 1^{2}$

Etapa 6.4.2.1.3.2

Simplifique.

$9 + K = 1^{2}$

Etapa 6.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$9 + K = 1$

Etapa 6.5

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$K = 1 - 9$

Etapa 6.5.2

Subtraia $9$ de $1$ .

$K = - 8$

Etapa 7

Substitua $- 8$ por $K$ em $y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua $- 8$ por $K$ .

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} - 8 + 2 x}$

Etapa 7.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Subtraia $8$ de $9$ .

$y = 3 + \sqrt{2 x^{2} + 1 + 2 x}$

Etapa 7.2.2

Reordene os termos.

$y = 3 + \sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}$