Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + 3 y = e^{- 2 x}$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 3$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int 3 d x}$

Etapa 1.2

Aplique a regra da constante.

$e^{3 x + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{3 x}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{3 x}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} e^{- 2 x}$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} e^{- 2 x}$

Etapa 2.3

Multiplique $e^{3 x}$ por $e^{- 2 x}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x - 2 x}$

Etapa 2.3.2

Subtraia $2 x$ de $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{x}$

Etapa 2.4

Reordene os fatores em $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = e^{x}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = e^{x}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int e^{x} d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{3 x} y = \int e^{x} d x$

Etapa 6

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$e^{3 x} y = e^{x} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{3 x} y = e^{x} + C$ por $e^{3 x}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{3 x} y = e^{x} + C$ por $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{3 x}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Cancele o fator comum de $e^{x}$ e $e^{3 x}$ .

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Etapa 7.3.1.1

Fatore $e^{3 x}$ de $e^{x}$ .

$y = \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.3.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{e^{- 2 x}}{1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.3.1.2.4

Divida $e^{- 2 x}$ por $1$ .

$y = e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$