Cálculo Exemplos

$\frac{d C}{d x} = \frac{14}{\sqrt[3]{14 x + 3}}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d C = \frac{14}{\sqrt[3]{14 x + 3}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d C = \int \frac{14}{\sqrt[3]{14 x + 3}} d x$

Etapa 2.2

Reescreva.

$C = \int \frac{14}{\sqrt[3]{14 x + 3}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $14$ é constante com relação a $x$ , mova $14$ para fora da integral.

$C = 14 \int \frac{1}{\sqrt[3]{14 x + 3}} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = 14 x + 3$ . Depois, $d u = 14 d x$ , então, $\frac{1}{14} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = 14 x + 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $14 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [14 x + 3]$

Etapa 2.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $14 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.3.2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

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Etapa 2.3.2.1.3.1

Como $14$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $14 x$ em relação a $x$ é $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.3.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.3.2.1.3.3

Multiplique $14$ por $1$ .

$14 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.3.2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.2.1.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$14 + 0$

Etapa 2.3.2.1.4.2

Some $14$ e $0$ .

$14$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$C = 14 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{14} d u$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ por $\frac{1}{14}$ .

$C = 14 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 14} d u$

Etapa 2.3.3.2

Mova $14$ para a esquerda de $\sqrt[3]{u}$ .

$C = 14 \int \frac{1}{14 \sqrt[3]{u}} d u$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{14}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{14}$ para fora da integral.

$C = 14 (\frac{1}{14} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.5.1

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1.1

Combine $\frac{1}{14}$ e $14$ .

$C = \frac{14}{14} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Etapa 2.3.5.1.2

Cancele o fator comum de $14$ .

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Etapa 2.3.5.1.2.1

Cancele o fator comum.

$C = \frac{14}{14} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Etapa 2.3.5.1.2.2

Reescreva a expressão.

$C = 1 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Etapa 2.3.5.1.3

Multiplique $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$ por $1$ .

$C = \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Etapa 2.3.5.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.5.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$C = \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Etapa 2.3.5.2.2

Mova $u^{\frac{1}{3}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$C = \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Etapa 2.3.5.2.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.5.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$C = \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Etapa 2.3.5.2.3.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$C = \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Etapa 2.3.5.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$C = \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$C = \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{1}$

Etapa 2.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $14 x + 3$ .

$C = \frac{3}{2} {(14 x + 3)}^{\frac{2}{3}} + C_{1}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$C = \frac{3}{2} {(14 x + 3)}^{\frac{2}{3}} + K$