Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Reordene os termos.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.2

Fatore $y$ de $- \frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.3

Reordene $y$ e $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - \frac{2}{x}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Etapa 2.2

Integre $- \frac{2}{x}$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Etapa 2.2.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{- 2}$

Etapa 2.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{x^{2}}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.2.3

Combine $\frac{2}{x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.2.4

Multiplique $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

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Etapa 3.2.4.1

Multiplique $\frac{2 y}{x}$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.2.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.4.2.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.2.4.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.2.4.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.2.4.2.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1.1

Reordene $x^{2}$ e $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 7.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Etapa 7.2

A integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\arctan (x) + C$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \arctan (x) + C$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.1.1

Combine $\frac{1}{x^{2}}$ e $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = \arctan (x) + C$

Etapa 8.2

Multiplique os dois lados por $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (\arctan (x) + C) x^{2}$

Etapa 8.3

Simplifique.

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Etapa 8.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (\arctan (x) + C) x^{2}$

Etapa 8.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = (\arctan (x) + C) x^{2}$

Etapa 8.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.2.1

Simplifique $(\arctan (x) + C) x^{2}$ .

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Etapa 8.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \arctan (x) x^{2} + C x^{2}$

Etapa 8.3.2.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.3.2.1.2.1

Reordene os fatores em $\arctan (x) x^{2} + C x^{2}$ .

$y = x^{2} \arctan (x) + C x^{2}$

Etapa 8.3.2.1.2.2

Reordene $x^{2} \arctan (x)$ e $C x^{2}$ .

$y = C x^{2} + x^{2} \arctan (x)$